eng
Выпуск #8/2020
В. П. Будак, А. В. Гримайло
Возникновение статистической линзы при учете корреляции волнений случайно неровной поверхности
Возникновение статистической линзы при учете корреляции волнений случайно неровной поверхности
Просмотры: 1629
DOI: 10.22184/1993-7296.FRos.2020.14.8.708.716
Cтатья посвящена моделированию случайно неровной поверхности с учетом корреляции уклонов. Приведены факты наблюдения подводного рельефа из космоса, а также предложено объяснение на основе предположения о возможности формирования на поверхности воды статистической линзы. Описан метод спектрального представления, который позволяет строить случайные поверхности с заданной корреляционной функцией. Данный метод реализован в программной среде MATLAB. Для проверки программы воспроизведен рельеф CD-ROM, полученный с помощью атомно-силового микроскопа. В качестве следующего шага смоделирована взволнованная поверхность воды, которая воздействует на проходящие лучи подобно реальной оптической линзе. Полученные результаты подтверждают возможность формирования на поверхности морей и океанов гигантских линз, благодаря которым можно различать топографию дна из космоса.
Cтатья посвящена моделированию случайно неровной поверхности с учетом корреляции уклонов. Приведены факты наблюдения подводного рельефа из космоса, а также предложено объяснение на основе предположения о возможности формирования на поверхности воды статистической линзы. Описан метод спектрального представления, который позволяет строить случайные поверхности с заданной корреляционной функцией. Данный метод реализован в программной среде MATLAB. Для проверки программы воспроизведен рельеф CD-ROM, полученный с помощью атомно-силового микроскопа. В качестве следующего шага смоделирована взволнованная поверхность воды, которая воздействует на проходящие лучи подобно реальной оптической линзе. Полученные результаты подтверждают возможность формирования на поверхности морей и океанов гигантских линз, благодаря которым можно различать топографию дна из космоса.
Теги: randomly uneven surface slope correlation statistical lens корреляция уклонов случайно неровная поверхность статистическая линза
Возникновение статистической линзы при учете корреляции волнений случайно неровной поверхности
В. П. Будак, А. В. Гримайло
Национальный исследовательский университет «МЭИ», Москва, Россия
Статья поступила: 24.09.2020
Принята к публикации: 06.10.2020
ВВЕДЕНИЕ
В августе 1965 года, выполняя миссию Джемини‑5, американский астронавт Л. Г. Купер смог наблюдать подводный рельеф сквозь толщу воды. В итоговом отчете [1] о миссии он сообщил, что с космической орбиты была различима топография прибрежного дна и структура подводных течений вблизи полуострова Калифорния.
Начиная с этого времени было накоплено большое количество подобных свидетельств. Так, в июне 1970 года А. Г. Николаев и В. И. Севастьянов на борту космического корабля «Союз‑9» первыми из советских космонавтов столкнулись с этим явлением [2]. Они увидели, как южноамериканский континент уступами опускается в океан и как из космоса в океане просматривается продолжение реки Амазонка. После этого было зафиксировано еще несколько подобных случаев [2]:
в августе 1974 года Г. В. Сарафанов и Л. С. Демин наблюдали на глубинах в сотни метров дно Мозамбикского пролива, который отделяет остров Мадагаскар от континента Африка;
в июне 1975 года П. И. Климук и В. И. Севастьянов при пролете над Атлантическим океаном от острова Нью-Фаундленд до Канарских островов хорошо видели океанские течения и дно океана в районе мелей;
в июне 1978 года члены основного экипажа второй экспедиции орбитальной станции «Салют‑6» В. В. Коваленок и А. С. Иванченков наблюдали подводный рельеф дна Тихого океана на глубинах до четырехсот метров.
В качестве наглядного примера этого явления можно привести снимок [3] северо-восточной части Каспийского моря (рис. 1), полученный со спутника. В этой мелководной зоне с глубинами до пяти-восьми метров хорошо отразился рельеф дна.
В настоящее время такой эффект не является еще до конца изученным, а среди версий о причинах его возникновения нельзя выделить единственно верную. По мнению авторов, наиболее вероятной из них представляется версия, связанная с формированием так называемой статистической (или стохастической) линзы – состоянием, при котором взволнованная поверхность воды воздействует на проходящие сквозь нее лучи света подобно реальной оптической линзе.
Изучение этого явления тем более важно, что оно может сыграть значительную роль при решении многих других проблем, связанных с переносом излучения. Одной из наиболее важных, в контексте данного обсуждения, является задача построения модели отражающей поверхности.
При ее создании важно учитывать, что свет отражается не только от граней поверхности материала, но и от самого объема материала: свет проникает в подповерхностные слои вещества, где рассеивается на частицах, а затем снова выходит в окружающее пространство. Поэтому наиболее подходящим способом построения модели отражающей поверхности представляется ее интерпретация в виде рассеивающего слоя, ограниченного снизу диффузной подложкой, а сверху – случайно неровной френелевской границей [4].
Известно много работ, затрагивающих вопрос построения случайно неровной поверхности (СНП), в том числе и с учетом корреляции уклонов (например [5, 6]). Несмотря на изобилие подобных работ, до сих пор не было проведено детального исследования того, как учет корреляции влияет на прохождения излучения через СНП. Целью настоящей работы является ответ на данный вопрос.
ПОСТРОЕНИЕ КОРРЕЛИРОВАННОЙ СЛУЧАЙНО НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Для моделирования случайно неровной поверхности мы использовали метод спектрального представления. Основная идея данного метода [7] состоит в получении численной модели случайного процесса x(t) с корреляционной функцией B(x) путем аппроксимации стохастического интеграла
где ξ(dλ), η(dλ) – вещественные ортогональные стохастические меры на полуоси [0,+∞); ν(dλ) = 2μ(dλ); ξ(dλ) = 2 Re ζ(dλ); η(dλ) = –2 Im ζ(dλ); ζ(dλ) – стохастическая спектральная мера процесса x(t).
В рассматриваемом случае было необходимо построить численную модель коррелированной случайно неровной поверхности, которую можно рассматривать как однородное изотропное случайное поле на плоскости.
Обозначим Ψ(x) случайное вещественное поле с корреляционной функцией B(x), для которой задано в общем случае разложение
, (1)
где p(λ) – спектральная плотность; . Далее для более простого вида формул будем считать, что математическое ожидание , а дисперсия .
В случае конечного спектра, то есть когда
,
требуемое поле Ψ(x) можно построить [8] по формуле
, (2)
где (ξk, ηk) – независимые в совокупности стандартные гауссовские случайные величины; k = 1, 2, …, N. Это представление можно использовать для построения поля с непрерывным спектром на основе какой-либо квадратурной формулы
с неотрицательными коэффициентами, сумма которых равна единице.
Разобьем пространство на части D1, ..., DN и пусть случайные точки λ1, ..., λΝ распределены в этих частях в соответствии с плотностями
, .
Тогда в силу (1) имеем
, .
Часто при решении практических задач изучаемые свойства решения с необходимой точностью вполне определяются корреляционной функцией исходного поля [8]. В этом случае можно считать N = 1, D1 = Rn.
Рассмотрим далее конкретный пример моделирования случайно неровной поверхности с корреляционной функцией B(r) = exp(–k0 r), где k0 – постоянная и r2 = x2 + y2. Учитывая предполагаемую изотропность случайно неровной поверхности (то есть наличие осевой симметрии), переходим от косинус-преобразования Фурье к преобразованию Ганкеля. В этом случае спектральное разложение корреляционной функции B(r) принимает следующий вид:
,
где J0 – функция Бесселя первого рода.
Проведя стандартные операции и воспользовавшись [9, 10], можно получить формулу, которая примет окончательный вид, если ввести усреднение по реализациями и предусмотреть случай, когда DΨ(x) ≠ 1. С этим преобразованиями выражение для моделирования Ψ(x, y) запишется как
(4)
где σ – стандартное отклонение.
Программная реализация модели и анализ результатов
Предложенная в предыдущем разделе модель построения коррелированной случайно неровной поверхности была реализована в программной среде Mathworks MATLAB. Однако, чтобы сделать данную модель более «гибкой», окончательный вид поверхности ΨΣ(x, y) строится в виде наложения (суперпозиции) двух поверхностей Ψ1 и Ψ2, полученных по формуле с разными параметрами
ΨΣ(x, y) = Ψ(x, y | ω1) + Ψ(x, y | ω2),
где ω – точка в фазовом пространстве Φ = {M, σ, k0}.
Такая модификация дает возможность путем подбора тех или иных параметров строить поверхности различного вида, которые сохраняют свои статистические свойства. Например, таким образом можно построить гладко отшлифованную зеркальную поверхность или взволнованную поверхность океана с мелкой рябью.
Чтобы проверить правильность работы программы, полученной после реализации модели в MATLAB, и оценить ее возможности, нами был воспроизведен рельеф реальной поверхности с помощью атомно-силового сканирующего микроскопа. В качестве образца для эксперимента использовался фрагмент диска CD-ROM. Ниже приведен полученный рельеф поверхности образца (рис. 2).
Для получения поверхности ΨΣ(x, y) похожего вида, были подобраны следующие параметры ω1 и ω2:
ω1 = {M = 1, σ = 2, k0 = 1,09},
ω1 = {M = 100, σ = 0,6, k0 = 1}.
Одна из реализаций поверхности, полученной с такими параметрами, может иметь вид, который представлен на рис. 3.
Следующим шагом является подбор таких параметров СНП, при которых можно было бы наблюдать появление статистической линзы. В результате многочисленного воспроизведения случайных поверхностей с различными значениями ω нам удалось зафиксировать этот эффект.
Реализация случайной поверхности с параметрами
ω1 = {M = 500, σ = 11,25, k0 = 0,025},
ω1 = {M = 100, σ = 0,2, k0 = 3}
может выглядеть, как показано на рис. 4. Этот вариант воспроизводит относительно слабо взволнованную поверхность воды с мелкой рябью (известно, что зафиксировать из космоса подводный рельеф на снимках можно в довольно редких случаях; непременными условиями при этом являются высокая прозрачность воды и штилевая погода [11]).
Если над центром углубления расположить кольцевой источник параллельных лучей, то проследив их ход после преломления данной поверхностью (показатель преломления воды n = 1,33), можно увидеть, что большинство лучей сходится на некотором расстоянии от СНП (рис. 5). Поместив в месте схождения лучей экран, увидим изображение светящего кольца (рис. 6), хотя и в некоторой степени размытое по сравнению с исходным.
Отдельное внимание стоит уделить вопросу решения задачи поиска точек пересечения лучей со случайно неровной поверхностью. Задача сама по себе является достаточно сложной. Простой перебор параметров элементов поверхности и определение принадлежности им точек пересечения луча с соответствующими плоскостями может давать ответ со значительной погрешностью из-за накопления машинной ошибки, а решение занимает значительное вычислительное время.
Хотя в рассмотренном примере ввиду его простоты можно было ограничиться тривиальным подходом, авторы решили использовать более универсальный способ с точки зрения времени счета, чтобы в дальнейшем использовать данную модель при решении более сложных задач.
Для определения координат точек пересечения исходная СНП аппроксимируется поверхностью , для которой затем решается система уравнений относительно ξ
Данная система сводится к нелинейному уравнению с одной неизвестной, так как аппроксимирующая поверхность задается в явном виде как . Однако полученное уравнение в общем случае может иметь большое число корней, а потому на передний план выходит оценка начального значения .
В рассматриваемом случае эта задача решается путем разбиения области определения функции на множество частей и перемножением между собой значений функции на соответствующих границах соседних отрезков. После чего выбирается ближайший к нулю справа отрезок, на котором функция изменяет свой знак. На этом отрезке уточняется значение с помощью метода бисекции.
Этот метод можно векторизовать и таким образом искать координаты точек пересечения сразу для всех лучей, что является его большим преимуществом. К недостаткам же следует отнести вероятность пропуска корней. Однако такой подход по своей природе соответствует решаемой задаче, а разбиение области определения функции на достаточно мелкие части позволяет рассматривать вероятность пропуска корня как пренебрежимо малую.
Заключение
Приведенные в настоящей работе результаты показывают, что масштабные водные поверхности (такие как море или океан) действительно могут формировать при определенных условиях гигантские линзы, через которые можно наблюдать из космоса объекты, расположенные глубоко под водой.
Кроме того, пример с водной поверхностью и поверхностью CD-ROM говорит об универсальности модели, благодаря ее способности формировать поверхности различной природы возникновения неровностей и их различного вида.
В качестве следующих этапов развития модели можно рассматривать включение в нее рассеяния в объеме вещества, находящегося под поверхностью. В будущем это откроет путь для разработки универсальной модели отражения света от реальной поверхности.
Также перспективным представляется развитие и использование метода моделирования случайно неровной поверхности, предложенного в [12]. Его суть состоит в моделировании не самой СНП, а только точек пересечения лучей с нею. Такой подход позволит существенно сократить время вычислений по сравнению со стандартными методами.
ЛИТЕРАТУРΑ
Gemini Program Mission Report. Gemini V. Huston, 1965.
Лазарев А. И., Севастьянов В. И. Лицом к лицу лица не увидать. Наука и жизнь. 1987; 9: 27–32. ISSN 0028-1263.
Дешифрирование многозональных аэрокосмических снимков. Методика и результаты. – М.; Берлин: Наука; Академи-ферлаг, 1982. 83 с.
Budak V. P., Grimailo A. V. The model of reflective surface based on the scattering layer with diffuse substrate and randomly rough Fresnel boundary. CEUR Workshop Proc. 2019; 2485: 198–201. DOI: 10.30987/graphicon‑2019-2-198-201.
Gartley M. G., Brown S. D., Schott J. R. Micro-scale surface and contaminate modeling for polarimetric signature prediction. Polariz. Meas. Anal. Remote Sens. VIII. 2008; 6972: 697213. DOI: 10.1117/12.801904.
Gartley M. G., Schott J. R., Brown S. D. Micro-scale modeling of contaminant effects on surface optical properties. Imaging Spectrom. XIII. 2008; 7086: 70860H. DOI: 10.1117/12.796428.
Пригарин С. М. Модели случайных процессов и полей в методах Монте-Карло. Palmarium Academic Publishing. 2014. 160 с. ISBN 978-3-659-98980-3.
Михайлов Г. А. Численное построение случайного поля с заданной спектральной плотностью. Докл. АН СССР. 1978; 238 (4): 793–795.
Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. – М.: Наука. 1976. 320 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). – М.: Наука. 1974. 832 с.
Показеев К. В., Чаплина Т. О., Чашечкин Ю. Д. Оптика океана: Учебное пособие. – М.: МАКС Пресс. 2010. 216 с. ISBN 978-5-317-03439-9.
Kargin B. A., Rakimgulov K. B. A weighting Monte Carlo method for modelling the optical radiation field in the ocean-atmosphere system. Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 1992. 7 (3): 221–240.
Авторы декларируют распределением вклада каждого в общую работу: Будак В. П. – руководство работой и обсуждение результатов, Гримайло Α. Β. – формулировка и реализация алгоритма.
АВТОРЫ
Будак Владимир Павлович, д.т.н., профессор, кафедра светотехники, Национальный исследовательский университет «МЭИ», E-mail: BudakVP@gmail.com, Москва, Россия.
ORCID iD: 0000-0003-4750-0160
ResearcherID: G‑4515–2014
Scopus ID: 10142738100
Гримайло Антон Валентинович, магистр, каф. светотехники, Национальный исследовательский университет «МЭИ», E-mail: GrimailoAV@gmail.com, Москва, Россия.
ORCID iD: 0000-0002-1253-7687
Scopus ID: 57211639687
В. П. Будак, А. В. Гримайло
Национальный исследовательский университет «МЭИ», Москва, Россия
Статья поступила: 24.09.2020
Принята к публикации: 06.10.2020
ВВЕДЕНИЕ
В августе 1965 года, выполняя миссию Джемини‑5, американский астронавт Л. Г. Купер смог наблюдать подводный рельеф сквозь толщу воды. В итоговом отчете [1] о миссии он сообщил, что с космической орбиты была различима топография прибрежного дна и структура подводных течений вблизи полуострова Калифорния.
Начиная с этого времени было накоплено большое количество подобных свидетельств. Так, в июне 1970 года А. Г. Николаев и В. И. Севастьянов на борту космического корабля «Союз‑9» первыми из советских космонавтов столкнулись с этим явлением [2]. Они увидели, как южноамериканский континент уступами опускается в океан и как из космоса в океане просматривается продолжение реки Амазонка. После этого было зафиксировано еще несколько подобных случаев [2]:
в августе 1974 года Г. В. Сарафанов и Л. С. Демин наблюдали на глубинах в сотни метров дно Мозамбикского пролива, который отделяет остров Мадагаскар от континента Африка;
в июне 1975 года П. И. Климук и В. И. Севастьянов при пролете над Атлантическим океаном от острова Нью-Фаундленд до Канарских островов хорошо видели океанские течения и дно океана в районе мелей;
в июне 1978 года члены основного экипажа второй экспедиции орбитальной станции «Салют‑6» В. В. Коваленок и А. С. Иванченков наблюдали подводный рельеф дна Тихого океана на глубинах до четырехсот метров.
В качестве наглядного примера этого явления можно привести снимок [3] северо-восточной части Каспийского моря (рис. 1), полученный со спутника. В этой мелководной зоне с глубинами до пяти-восьми метров хорошо отразился рельеф дна.
В настоящее время такой эффект не является еще до конца изученным, а среди версий о причинах его возникновения нельзя выделить единственно верную. По мнению авторов, наиболее вероятной из них представляется версия, связанная с формированием так называемой статистической (или стохастической) линзы – состоянием, при котором взволнованная поверхность воды воздействует на проходящие сквозь нее лучи света подобно реальной оптической линзе.
Изучение этого явления тем более важно, что оно может сыграть значительную роль при решении многих других проблем, связанных с переносом излучения. Одной из наиболее важных, в контексте данного обсуждения, является задача построения модели отражающей поверхности.
При ее создании важно учитывать, что свет отражается не только от граней поверхности материала, но и от самого объема материала: свет проникает в подповерхностные слои вещества, где рассеивается на частицах, а затем снова выходит в окружающее пространство. Поэтому наиболее подходящим способом построения модели отражающей поверхности представляется ее интерпретация в виде рассеивающего слоя, ограниченного снизу диффузной подложкой, а сверху – случайно неровной френелевской границей [4].
Известно много работ, затрагивающих вопрос построения случайно неровной поверхности (СНП), в том числе и с учетом корреляции уклонов (например [5, 6]). Несмотря на изобилие подобных работ, до сих пор не было проведено детального исследования того, как учет корреляции влияет на прохождения излучения через СНП. Целью настоящей работы является ответ на данный вопрос.
ПОСТРОЕНИЕ КОРРЕЛИРОВАННОЙ СЛУЧАЙНО НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Для моделирования случайно неровной поверхности мы использовали метод спектрального представления. Основная идея данного метода [7] состоит в получении численной модели случайного процесса x(t) с корреляционной функцией B(x) путем аппроксимации стохастического интеграла
где ξ(dλ), η(dλ) – вещественные ортогональные стохастические меры на полуоси [0,+∞); ν(dλ) = 2μ(dλ); ξ(dλ) = 2 Re ζ(dλ); η(dλ) = –2 Im ζ(dλ); ζ(dλ) – стохастическая спектральная мера процесса x(t).
В рассматриваемом случае было необходимо построить численную модель коррелированной случайно неровной поверхности, которую можно рассматривать как однородное изотропное случайное поле на плоскости.
Обозначим Ψ(x) случайное вещественное поле с корреляционной функцией B(x), для которой задано в общем случае разложение
, (1)
где p(λ) – спектральная плотность; . Далее для более простого вида формул будем считать, что математическое ожидание , а дисперсия .
В случае конечного спектра, то есть когда
,
требуемое поле Ψ(x) можно построить [8] по формуле
, (2)
где (ξk, ηk) – независимые в совокупности стандартные гауссовские случайные величины; k = 1, 2, …, N. Это представление можно использовать для построения поля с непрерывным спектром на основе какой-либо квадратурной формулы
с неотрицательными коэффициентами, сумма которых равна единице.
Разобьем пространство на части D1, ..., DN и пусть случайные точки λ1, ..., λΝ распределены в этих частях в соответствии с плотностями
, .
Тогда в силу (1) имеем
, .
Часто при решении практических задач изучаемые свойства решения с необходимой точностью вполне определяются корреляционной функцией исходного поля [8]. В этом случае можно считать N = 1, D1 = Rn.
Рассмотрим далее конкретный пример моделирования случайно неровной поверхности с корреляционной функцией B(r) = exp(–k0 r), где k0 – постоянная и r2 = x2 + y2. Учитывая предполагаемую изотропность случайно неровной поверхности (то есть наличие осевой симметрии), переходим от косинус-преобразования Фурье к преобразованию Ганкеля. В этом случае спектральное разложение корреляционной функции B(r) принимает следующий вид:
,
где J0 – функция Бесселя первого рода.
Проведя стандартные операции и воспользовавшись [9, 10], можно получить формулу, которая примет окончательный вид, если ввести усреднение по реализациями и предусмотреть случай, когда DΨ(x) ≠ 1. С этим преобразованиями выражение для моделирования Ψ(x, y) запишется как
(4)
где σ – стандартное отклонение.
Программная реализация модели и анализ результатов
Предложенная в предыдущем разделе модель построения коррелированной случайно неровной поверхности была реализована в программной среде Mathworks MATLAB. Однако, чтобы сделать данную модель более «гибкой», окончательный вид поверхности ΨΣ(x, y) строится в виде наложения (суперпозиции) двух поверхностей Ψ1 и Ψ2, полученных по формуле с разными параметрами
ΨΣ(x, y) = Ψ(x, y | ω1) + Ψ(x, y | ω2),
где ω – точка в фазовом пространстве Φ = {M, σ, k0}.
Такая модификация дает возможность путем подбора тех или иных параметров строить поверхности различного вида, которые сохраняют свои статистические свойства. Например, таким образом можно построить гладко отшлифованную зеркальную поверхность или взволнованную поверхность океана с мелкой рябью.
Чтобы проверить правильность работы программы, полученной после реализации модели в MATLAB, и оценить ее возможности, нами был воспроизведен рельеф реальной поверхности с помощью атомно-силового сканирующего микроскопа. В качестве образца для эксперимента использовался фрагмент диска CD-ROM. Ниже приведен полученный рельеф поверхности образца (рис. 2).
Для получения поверхности ΨΣ(x, y) похожего вида, были подобраны следующие параметры ω1 и ω2:
ω1 = {M = 1, σ = 2, k0 = 1,09},
ω1 = {M = 100, σ = 0,6, k0 = 1}.
Одна из реализаций поверхности, полученной с такими параметрами, может иметь вид, который представлен на рис. 3.
Следующим шагом является подбор таких параметров СНП, при которых можно было бы наблюдать появление статистической линзы. В результате многочисленного воспроизведения случайных поверхностей с различными значениями ω нам удалось зафиксировать этот эффект.
Реализация случайной поверхности с параметрами
ω1 = {M = 500, σ = 11,25, k0 = 0,025},
ω1 = {M = 100, σ = 0,2, k0 = 3}
может выглядеть, как показано на рис. 4. Этот вариант воспроизводит относительно слабо взволнованную поверхность воды с мелкой рябью (известно, что зафиксировать из космоса подводный рельеф на снимках можно в довольно редких случаях; непременными условиями при этом являются высокая прозрачность воды и штилевая погода [11]).
Если над центром углубления расположить кольцевой источник параллельных лучей, то проследив их ход после преломления данной поверхностью (показатель преломления воды n = 1,33), можно увидеть, что большинство лучей сходится на некотором расстоянии от СНП (рис. 5). Поместив в месте схождения лучей экран, увидим изображение светящего кольца (рис. 6), хотя и в некоторой степени размытое по сравнению с исходным.
Отдельное внимание стоит уделить вопросу решения задачи поиска точек пересечения лучей со случайно неровной поверхностью. Задача сама по себе является достаточно сложной. Простой перебор параметров элементов поверхности и определение принадлежности им точек пересечения луча с соответствующими плоскостями может давать ответ со значительной погрешностью из-за накопления машинной ошибки, а решение занимает значительное вычислительное время.
Хотя в рассмотренном примере ввиду его простоты можно было ограничиться тривиальным подходом, авторы решили использовать более универсальный способ с точки зрения времени счета, чтобы в дальнейшем использовать данную модель при решении более сложных задач.
Для определения координат точек пересечения исходная СНП аппроксимируется поверхностью , для которой затем решается система уравнений относительно ξ
Данная система сводится к нелинейному уравнению с одной неизвестной, так как аппроксимирующая поверхность задается в явном виде как . Однако полученное уравнение в общем случае может иметь большое число корней, а потому на передний план выходит оценка начального значения .
В рассматриваемом случае эта задача решается путем разбиения области определения функции на множество частей и перемножением между собой значений функции на соответствующих границах соседних отрезков. После чего выбирается ближайший к нулю справа отрезок, на котором функция изменяет свой знак. На этом отрезке уточняется значение с помощью метода бисекции.
Этот метод можно векторизовать и таким образом искать координаты точек пересечения сразу для всех лучей, что является его большим преимуществом. К недостаткам же следует отнести вероятность пропуска корней. Однако такой подход по своей природе соответствует решаемой задаче, а разбиение области определения функции на достаточно мелкие части позволяет рассматривать вероятность пропуска корня как пренебрежимо малую.
Заключение
Приведенные в настоящей работе результаты показывают, что масштабные водные поверхности (такие как море или океан) действительно могут формировать при определенных условиях гигантские линзы, через которые можно наблюдать из космоса объекты, расположенные глубоко под водой.
Кроме того, пример с водной поверхностью и поверхностью CD-ROM говорит об универсальности модели, благодаря ее способности формировать поверхности различной природы возникновения неровностей и их различного вида.
В качестве следующих этапов развития модели можно рассматривать включение в нее рассеяния в объеме вещества, находящегося под поверхностью. В будущем это откроет путь для разработки универсальной модели отражения света от реальной поверхности.
Также перспективным представляется развитие и использование метода моделирования случайно неровной поверхности, предложенного в [12]. Его суть состоит в моделировании не самой СНП, а только точек пересечения лучей с нею. Такой подход позволит существенно сократить время вычислений по сравнению со стандартными методами.
ЛИТЕРАТУРΑ
Gemini Program Mission Report. Gemini V. Huston, 1965.
Лазарев А. И., Севастьянов В. И. Лицом к лицу лица не увидать. Наука и жизнь. 1987; 9: 27–32. ISSN 0028-1263.
Дешифрирование многозональных аэрокосмических снимков. Методика и результаты. – М.; Берлин: Наука; Академи-ферлаг, 1982. 83 с.
Budak V. P., Grimailo A. V. The model of reflective surface based on the scattering layer with diffuse substrate and randomly rough Fresnel boundary. CEUR Workshop Proc. 2019; 2485: 198–201. DOI: 10.30987/graphicon‑2019-2-198-201.
Gartley M. G., Brown S. D., Schott J. R. Micro-scale surface and contaminate modeling for polarimetric signature prediction. Polariz. Meas. Anal. Remote Sens. VIII. 2008; 6972: 697213. DOI: 10.1117/12.801904.
Gartley M. G., Schott J. R., Brown S. D. Micro-scale modeling of contaminant effects on surface optical properties. Imaging Spectrom. XIII. 2008; 7086: 70860H. DOI: 10.1117/12.796428.
Пригарин С. М. Модели случайных процессов и полей в методах Монте-Карло. Palmarium Academic Publishing. 2014. 160 с. ISBN 978-3-659-98980-3.
Михайлов Г. А. Численное построение случайного поля с заданной спектральной плотностью. Докл. АН СССР. 1978; 238 (4): 793–795.
Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. – М.: Наука. 1976. 320 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). – М.: Наука. 1974. 832 с.
Показеев К. В., Чаплина Т. О., Чашечкин Ю. Д. Оптика океана: Учебное пособие. – М.: МАКС Пресс. 2010. 216 с. ISBN 978-5-317-03439-9.
Kargin B. A., Rakimgulov K. B. A weighting Monte Carlo method for modelling the optical radiation field in the ocean-atmosphere system. Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 1992. 7 (3): 221–240.
Авторы декларируют распределением вклада каждого в общую работу: Будак В. П. – руководство работой и обсуждение результатов, Гримайло Α. Β. – формулировка и реализация алгоритма.
АВТОРЫ
Будак Владимир Павлович, д.т.н., профессор, кафедра светотехники, Национальный исследовательский университет «МЭИ», E-mail: BudakVP@gmail.com, Москва, Россия.
ORCID iD: 0000-0003-4750-0160
ResearcherID: G‑4515–2014
Scopus ID: 10142738100
Гримайло Антон Валентинович, магистр, каф. светотехники, Национальный исследовательский университет «МЭИ», E-mail: GrimailoAV@gmail.com, Москва, Россия.
ORCID iD: 0000-0002-1253-7687
Scopus ID: 57211639687
Отзывы читателей
