eng
Выпуск #8/2018
А.А.Крайский, А.В.Крайский, М.А.Казарян, Р.А.Захарян
О резонансном увеличении поля внутри фотонного кристалла в окнах прозрачности вблизи запрещенной зоны и некоторых его применениях
О резонансном увеличении поля внутри фотонного кристалла в окнах прозрачности вблизи запрещенной зоны и некоторых его применениях
Просмотры: 4217
В обзоре описывается эффект резонансного увеличения интенсивноти светового поля внутри фотонно-кристаллической среды конечного размера, когда длина волны этого излучения находится в окнах прозрачности среды, прилегающих к краю запрещенной зоны среды. Описаны некоторые применения этого эффекта: создание лазеров с низким порогом генерации и возможностью управления длиной волны излучения с помощью низкого электрического напряжения; наблюдения нелинейно-оптических эффектов при невысокой мощности излучения; создание чувствительных сенсоров. Приводится обзор теоретических исследований этого эффекта.
DOI: 10.22184/1993-7296.2018.12.8.802.822
DOI: 10.22184/1993-7296.2018.12.8.802.822
Теги: band gap increase in intensity lowering threshold perturbation theory photonic crystal sensors transparency window zone edge запрещенная зона край зоны окно прозрачности понижение порога сенсоры теория возмущений увеличение интенсивности фотонный кристалл
1. ВВЕДЕНИЕ
Интерес к исследованиям свойств фотонных кристаллов (ФК) переживал рост до начала десятых годов нашего века. Об этом свидетельствуют данные поисковой системы GOOGLE SCOLAR: число публикаций в этом направлении росло. Затем интерес уверенно стабилизировался на среднем уровне 582 публикаций в год со стандартным отклонением в 22 публикации (рис. 1). Причина взрывного интереса к этому направлению вызвана прогрессом в материаловедении и возможностью создания точно заданных конструкций материалов с необходимыми свойствами. Стимулируют интерес также возможности предельной миниатюризации устройств и получения устройств с высокими эксплуатационными свойствами.
Здесь представлен обзор исследований, связанных с эффектом усиления поля в окнах прозрачности вблизи запрещенной зоны (ЗЗ) ФК и с некоторыми важными, с нашей точки зрения, применениями этого эффекта.
Термин ФК является переводом английского термина "photonic crystal" и достаточно уверенно установился в русском языке, хотя подвергался критике, видимо, с достаточными основаниями. Английский термин был введен в работе [1].
2.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
ФК – это среды с пространственно-периодическими оптическими свойствами, когда период сопоставим с длиной волны излучения. Для трехмерной среды периодичность может проявляться по всем трем измерениям аналогично расположению структурных элементов в природных кристаллах. В этом случае они называются трехмерными кристаллами (3-d кристаллы). Плоско-слоистую структуру часто называют одномерным ФК. В планарных средах при периодически структурированных оптических свойствах волновода по двум или одному измерению также можно говорить о двумерных и одномерных кристаллах. И для волоконных, действительно одномерных структур также могут существовать фотонно-кристаллические структуры, например − брэгговские зеркала, когда оптические свойства волоконного волновода периодически изменяются по пространству. Общим для всех таких структур свойством является наличие "запрещенной зоны", т.е области для длин волн в спектре, которые не могут распространяться в каком-либо диапазоне направлений.
Распространение волн различной природы в периодических структурах подробно рассматривалось достаточно давно (см., например [2, 3]) и продолжает быть предметом исследований до настоящего времени. Причем, по данным той же системы GOOGLE SCOLAR, это направление в науке, начиная с середины 90-х годов прошлого века от уровня менее 100 публикаций в год постоянно увеличивает число публикаций. В прошлом году уровень достиг более 1400 работ в год. Впервые эти среды были созданы и изучались в оптике еще в 19 веке: фотография в натуральных цветах, открытая Эд. Беккерелем во второй трети века и доведенная до законченного вида Липпманом [4, 5] в конце века (за что в 1908 году он получил Нобелевскую премию). Позднее на этой основе сформировалась голография Денисюка. Первым наблюдавшееся Беккерелем явление объяснил Ценкер [4, 5], затем его теорию развил Рэлей [6, 7]. В акустооптике рассматривалась дифракция света на ультразвуке (например [8, 9]). В кристаллографии рассматривалась дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке (см., например [10, 11]). В твердом теле явления переноса связаны с движением электронов в периодической кристаллической структуре. Там же сложилось важное для таких сред понятие зонной структуры с запрещенными зонами в энергетическом спектре, в пределах которых невозможно распространение однородной волны. Эти представления были использованы и при исследованиях фотонных кристаллов (см., например [1]). Понятие ЗЗ является одним из ключевых в науке о ФК. Впервые возможность формирования ЗЗ установил В. П. Быков [12]. В дальнейшем их свойства изучались независимо от этой работы [13, 14]. Понятие такой запрещенной зоны относится к бесконечному кристаллу, в случае одномерной плоскослоистой среды – к ФК бесконечной толщины. В них для любой величины амплитуды модуляции переменной части оптических свойств не могут существовать волны с частотами, лежащими внутри ЗЗ, соответствующих таким оптическим характеристикам.
3.
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНЫХ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ
Реальные ФК имеют конечные размеры, что приводит к некоторым отличиям их свойств. Проще всего наличие ЗЗ и сущности эффекта можно показать на примере многослойной периодической структуры, когда оптические характеристики изменяются только по глубине слоя. Прежде чем рассматривать свойства ФК конечной толщины, покажем, как обстоит ситуация с распространением волн в одномерной периодической среде.
Хорошо известно, что в спектре отражения периодической структуры при малых значениях переменной части показателя преломления и не слишком толстом слое имеется резонансная длина волны, для которой коэффициент отражения максимален. По мере отстройки частоты падающего света от резонансной коэффициент отражения падает и вырисовывается спектр коэффициента отражения такой структуры (рис. 2).
Расчет проводился для гармонического изменения показателя преломления n = n0(1 + v cos (2px / d)), где среднее значения показателя преломления n0 = 1,33; относительная амплитуда переменной части показателя преломления v = 0,002; период – 167,6 нм, резонансная длина волны λр = 600 нм, толщина слоя 20 мкм. Подробнее о мало известных особенностях этого спектра см. [15].
При увеличении коэффициента отражения до 0,1 для резонансной длины волны, например, вследствие увеличения относительной амплитуды переменной части показателя преломления, форма спектрального максимума коэффициента отражения практически не изменяется. При дальнейшем росте резонансного коэффициента отражения форма спектрального пика начинает изменяться, он уширяется и постепенно принимает характерный для ФК вид [15].
На рис. 3 показан рассчитанный нами спектр пропускания такой среды при нормальном падении плоской волны на слой. Видна ЗЗ с центром при 600 нм. В пределах этой ЗЗ практически отсутствует пропускание. При длинах волн λn = λр / n (n = 1, 2, …) также могут проявляться провалы пропускания, т. е. ЗЗ более высокого порядка по шкале частот (ωn = n · ωр, где ωр = 2 π c / λр). Вблизи ЗЗ видна интерференционная структура, определяемая числом периодов ФК. При увеличении амплитуды переменной части показателя преломления пропускание в минимумах этой структуры вблизи ЗЗ значительно падает. Таким образом формируются узкие зоны пропускания. Две такие зоны, первая и вторая, показаны на рис. 4a. Такие спектральные структуры мы называем окнами прозрачности. Первые справа и слева окна ограничивают ЗЗ (см. рис. 3a). В этих окнах амплитуда поля может значительно увеличиваться [16–26]. На рис. 3b показана пространственная картина распределения амплитуды поля по глубине для длины волны 565,76 нм, которая соответствует максимуму первого коротковолнового окна прозрачности. Это характерная картина интерференции двух встречных волн, которые в ФК являются волнами Блоха. На входной плоскости (слева) амплитуда поля равна единице, т. е. равна входному полю, поскольку коэффициент отражения равен нулю. На выходной плоскости амплитуда поля также равна единице, поскольку пропускание полное.
Расчет показывает, что для излучения с длиной волны 600 нм (центр зоны) на входной плоскости наблюдается отраженная волна той же интенсивности, что и падающая на слой волна, поскольку коэффициент отражения практически равен единице. Поэтому в окрестности ближайшего интерференционного максимума амплитуда поля увеличивается в 2 раза (интенсивность увеличивается в 4 раза). Далее в глубину максимальная амплитуда убывает экспоненциально в e раз с глубиной затухания около 1 мкм. Для излучения в максимуме коротковолнового окна прозрачности (λ = 566,06 нм) распределение амплитуды поля по глубине показано на рис. 3b. Увеличение амплитуды максимально в центре слоя и составляет 3,45 тн.ед., что соответствует увеличению интенсивности излучения в 12 раз.
На рис. 4a показаны для коротковолнового края ЗЗ первое и второе окна прозрачности для слоя ФК толщиной 10,076 мкм. На рис. 4b показано распределение амплитуды поля по глубине для первого и второго окон прозрачности.
Еще одно известное существенное свойство распространения света в ФК в окнах прозрачности состоит в том, что поле с длиной волны, лежащей в области длинноволнового окна прозрачности, сосредотачивается преимущественно в оптически более плотных слоях, а излучения с динами волн из коротковолнового окна прозрачности – преимущественно в менее плотных слоях (рис. 5).
Более тонкий слой имеет бульшую плотность, и там для длинноволнового края (рис. 5a) расположены максимумы поля. Для коротковолнового края (рис. 5b) максимумы поля располагаются в толстом, менее плотном слое. При использовании описываемого эффекта это свойство надо иметь в виду. В частности, это важно для нелинейных процессов, когда два поля, взаимодействующие с одним из веществ, составляющих период, располагаются в различных спектральных интервалах.
4.
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ФК ВБЛИЗИ КРАЯ ЗЗ
Обсуждаемый эффект находит широкое применение. На его основе рассматривается использование ФК для задержки коротких световых импульсов [27]; для создания низкопороговых лазеров [29–30]; для понижения уровня мощности излучения в нелинейных эффектах, в частности для понижения порога ВКР [31]; для повышения мощности вторичного излучения – люминесценции и комбинационного рассеяния света [32–35]; для увеличения преобразования света в солнечных батареях [36]; для использования в качестве сенсоров [37–44]; параметрических преобразователей частоты [18]; генераторов гармоник [19–21] и во многих других применениях.
4.1.
О медленном свете и линиях задержки
Для одномерного ФК дисперсионная кривая для частот между двумя ЗЗ показана на рис. 6. По аналогии с понятием квазичастиц в теории твердого тела, с учетом того, что групповая скорость света в оптически плотной среде дается выражением
Vg = ∂ω / ∂q,
достаточно давно многие исследователи пользуются понятием "медленный свет" для излучения с длиной волны, находящейся вблизи края ЗЗ, поскольку на краю зоны эта производная дисперсионной кривой обращается в 0. На основании этих представлений были проведены эксперименты. В них наблюдалось увеличение эффективности взаимодействия света со средой в поглощении, рассеянии, преобразовании света и т. п., что объяснялось увеличением плотности мощности вследствие замедления света (подробнее см., например в [13]). Следует, однако, иметь в виду, что вблизи края ЗЗ области малой групповой скорости имеют очень узкую спектральную протяженность. Поэтому при объяснении наблюдаемого эффекта таким образом возникает вопрос – корректно ли использовать понятие групповой скорости при крайне сильной дисперсии по отношению к импульсу конечной ширины.
В работе [27] теоретически изучено прохождение коротких импульсов света через периодические структуры со сложной элементарной ячейкой с несколькими типами экситонных квантовых ям на периоде. Рассматривались структуры с 70–80 периодами, имеющие ЗЗ. Авторы сообщают, что параметры этой структуры были оптимизированы на максимальное замедление с минимальными потерями и малыми искажениями формы импульса. Была получена расчетная задержка в 2 пс, что соответствует замедлению скорости света по сравнению с вакуумом в 50 раз. Интенсивность импульса при прохождении такой структуры по расчетам уменьшается в 4 раза. Это возможно лишь для импульсов с достаточно узким спектром длительностью более 10 пс.
4.2.
НИЗКОПОРОГОВЫЕ ЛАЗЕРЫ И НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Достоинством фотонных кристаллов является увеличение плотности мощности излучения в специфических областях пространства, когда спектр излучения находится вблизи края запрещенной зоны в окнах прозрачности. Это может понижать пороги нелинейных явлений. В частности, при введении в область повышенной мощности усиливающей среды можно получать низкопороговую лазерную генерацию [29, 30].
В [29] для управления длины волны низкопороговой генерации использовалось таммовское состояние в запрещенной зоне одномерной периодической структуры с дефектом. Так называется состояние с окном прозрачности, возникающее в ЗЗ периодической структуры, имеющей дефект в периодичности. При этом для излучения в этом окне прозрачности происходит сильное усиление амплитуды поля, как правило, значительно более сильное, нежели для соседнего с ЗЗ окна прозрачности идеального кристалла. В окрестности дефекта при этом наблюдается пространственная локализация излучения. В случае толстого дефектного слоя – это, в сущности, интерферометр Фабри-Перо. В работе [29] авторы заполняли дефект нематическим жидким кристаллом для возможности управления таммовским состоянием.
Многослойная структура составлялась из слоев SiO2 и TiO2, нанесенных на покрытую In-Sn оксидом стеклянную подложку. Показатели преломления SiO2 и TiO2 составляли 1,45 и 2,35 соответственно. Толщины слоев SiO2 и TiO2 были 103 нм и 64 нм соответственно. В результате центр ЗЗ находился на длине волны 600 нм. На подложку было нанесено 5 пар слоев SiO2 и TiO2. Два таких образца накладывались друг на друга так, что покрытия были обращены друг к другу, разделенные зазором толщиной 1 мкм. Этот зазор заполнялся жидким кристаллом (ЖК), который ориентировался параллельно поверхностям образцов. Показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей составляют no = 1,5 и ne = 1,7 соответственно. Для излучения, электрическое поле которого ориентировано вдоль оси y, все 4 окна прозрачности внутри ЗЗ при превышении приложеного напряжения выше 1 В начинали смещаться в коротковолновую область и смещались на 40 нм при напряжении 8 В.
Для лазерного эксперимента в подобную схему в зазор к ЖК заполнению в качестве активной среды примешивался краситель. Среда возбуждалась 8-нс импульсом 2‑й гармоники неодимового лазера (Nd:YAG). Порог возникновения сильного излучения по оценке авторов составлял 5мкДж / импульс. Смещение линии излучения составил 25 нм при приложении напряжения 2 В.
В [30] предлагается схема, в которой по расчетам авторов можно понизить порог генерации по закону N‑5, где N – число периодов фотонной структуры.
Эффект повышения мощности светового излучения в ФК вблизи края ЗЗ применялся и при исследовании ВКР. В [31] при насыщении искусственного опала нитробензолом наблюдалось понижение порога генерации в нитробензоле не менее чем в 20 раз.
4.3.
НАБЛЮДЕНИЕ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ И КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ СВЕТА
Также эффект повышения плотности мощности светового излучения вблизи края ЗЗ применялся для повышения величины сигнала при исследованиях комбинационного рассеяния света и люминесценции, когда вблизи края ЗЗ находилось либо возбуждающее, либо испускаемое излучение. В [32] сообщается об увеличении интенсивности люминесценции ДНК, введенной в искусственный опал.
В [33] cообщается о возможности модификации сегнетоэлектрических свойств материалов при введении их в поры искусственных опалов и рассмотрены особенности физических свойств искусственных опалов, в поры которых вводятся проводящие среды: ртуть, аморфный углерод, серебро, золото и др. Анализируются спектры пропускания и отражения широкополосного излучения, позволяющие установить характеристики стоп-зон в зависимости от диаметра глобул, типа сегнетоэлектрика или металла, вводимого в поры опала, условий температурного отжига и т. д. Сообщается об условиях излучения медленных электромагнитных волн в искусственных опалах и их характерных свойствах. Анализируются возможности возрастания эффективности комбинационных и нелинейно-оптических процессов в фотонных кристаллах, заполненных сегнетоэлектриками и металлами.
В [34] описывается усиление комбинационного рассеяния света при возбуждении светом с λ = 1,06 мкм в ФК структурах ПК в области фотонной запрещенной зоны 0,9–1,2 мкм.
В [35] моделировалась ФК структура, образованная 21 парой слоев пористого кремния (ПК) с толщинами d1 = 100 нм (n1 = 2,36) и d2 = 130 нм (n2 = 1,91) и однородного слоя ПК с толщиной, равной толщине модельной структуры (n = 2,36). Показано, в частности, что имеется резонансное проникновение возбуждающего поля вглубь структуры. Спектр эффективности выхода излучения КРС смещен на 520 см‑1 – на максимальную частоту оптического фонона в кристаллическом кремнии, т. е. показано наличие резонансного выхода рассеянного излучения из структуры. Дано объяснение экспериментально наблюдаемого эффекта многократного усиления стоксовой компоненты рассеянного света. Предсказана возможность усиления антистоксовой компоненты комбинационного рассеяния света при возбуждении вблизи краев фотонно-кристаллической запрещенной зоны.
В [36] на основании проведенных теоретических исследований оптических свойств фотонно-кристаллических катализаторов на основе TiO2 в области ЗЗ авторы приходят к выводу, что, хотя поглощение излучения в коротковолновой (синей) окрестности ЗЗ ранее наблюдалось в инвертированных опалах на основе TiO2, оно не было подстроено под характеристики материала. По результатам расчетов сделан вывод о том, что оптимизация не только красной границы ЗЗ, но и синей приведет к усиленному поглощению и, следовательно, повысит выход фотокаталитической реакции. Авторы полагают, что их теоретические результаты помогут улучшить фотокаталитическую активность инвертированных опалов на основе TiO2, а также вызовут новые разработки в других смежных областях, таких как фотовольтаика.
4.4. ПРИМЕНЕНИЯ В СЕНСОРАХ
Остановимся подробнее на сенсорах, работающих с использованием этого эффекта. Преимуществом таких сенсоров являются небольшие размеры вкупе с высокой точностью измерений. Часто такие сенсоры создают для встраивания в чип.
В работе [37] исследовались сенсоры, использующие частотный диапазон вблизи ЗЗ. В работе было предложено использовать в качестве сенсора брэгговскую решетку, соприкасающуюся с исследуемым газом. Свет входил сбоку в торец решетки, и смотрелось отражение назад. Положение ЗЗ в образованном одномерном ФК зависело от показателя преломления среды, соприкасающейся с решеткой. По положению середины ЗЗ определяется значение показателя преломления исследуемой среды, по которому судили о концентрации интересующего компонента. Точность измерений составляла 2Ч10–5, при размерах образца 1,6 мм. Похожая геометрия сенсора была предложена в [38], где измерялась интенсивность не отраженной, а прошедшей волны.
В работе [39] также предложен сенсор на основе брэгговской решетки. Свет так же входил в торец. Частота света подбиралась близкой к границе ЗЗ решетки, действовавшей как волновод. Измерялась интенсивность прошедшего света на выбранных частотах вблизи ЗЗ. При небольшом изменении показателя преломления среды, соприкасающейся с решеткой, положение ЗЗ несколько сдвигалось по частоте. Наклон зависимости коэффициента пропускания от частоты падающего света на границе ЗЗ очень велик, и при небольшом изменении показателя преломления интенсивность прошедшего излучения изменялась значительно. Таким образом, был получен достаточно чувствительный сенсор (чувствует изменение показателя преломления среды 4Ч10–4) при размерах решетки 76,19 мкм (401 период).
В работе [40] было сделано усовершенствование, повысившее чувствительность прибора. Так же исследовалась интенсивность света, прошедшего вдоль брэгговской решетки, работавшей как одномерный фотонный кристалл-волновод. Однако следили не за изменением интенсивности на выбранной вблизи ЗЗ длине волны, которое происходило за счет изменения положения ЗЗ с изменением коэффициента преломления исследуемого газа, а за перемещением ближнего к ЗЗ окна прозрачности. Поскольку с увеличением толщины ФК это окно можно сделать очень узким [26], то точность измерения показателя преломления газа, а следовательно, и его концентрации можно сделать достаточно высокой. В работе сдвиг окна на 3,5нм происходил при изменении показателя преломления на 0,01, при этом толщина образца составляла 1 200 нм.
Эффект усиления поля в окнах прозрачности эффективно работает при измерении концентрации слабо поглощающих веществ. При прохождении света через газ частоты, находящиеся внутри линии поглощения газа, будут ослабляться. Однако это ослабление может быть слишком мало из-за относительно невысоких плотностей газов при атмосферном давлении. В сенсорах, где свет напрямую идет через газ (без ФК), для возможности регистрации этих изменений необходима значительная длина пути, вдоль которого свет взаимодействует с исследуемым веществом. Заметим, что потери в интенсивности излучения за счет поглощения пропорциональны этой интенсивности и, соответственно, модулю поля в квадрате. Если совместить линию поглощения газа и окно прозрачности, то из-за наличия периодической структуры фотонного кристалла поле в нем возрастет [15, 16], причем на значительную величину, пропорциональную числу периодов ФК. Соответственно вырастут и потери. Следовательно, можно изготовить сенсоры меньших размеров с большей чувствительностью [41–43]. В [42] этот эффект дал возможность создать зонд микрометрических размеров, что важно, например, в миниатюрных устройствах. Поглощение кислорода в окружающем воздухе на линии 760 нм составляет порядка 2,6% при длине оптического пути около 1 м. Используется эта линия, поскольку для нее спектр поглощения О2 минимально чувствителен к изменениям температур, и на него оказывает влияние лишь изменение давления. Самая низкая концентрация кислорода, которая может быть измерена, составляет около 20–50 ppm (частиц на миллион), что соответствует изменению коэффициента пропускания на величину около 0,0005. Наименьшее экспериментально обнаруженное поглощение в эксперименте примерно в 3 раза превышает предельный уровень дробового шума и составляет около 10–6. Это при измерениях в свободном пространстве соответствует концентрации около 8 ppm при длине пути в 1 м. Отметим, что в определенном смысле применение ФК с такими свойствами можно интерпретировать как давно известный метод применения многопроходных кювет.
В сенсоре, предложенном в [44], исследуется влияние периодической структуры фотонного кристалла на фотолюминесценцию вещества, которое заполняет одномерный ФК. Он представляет собой волновод, образованный двумя параллельными рядами отверстий и щелью между ними. Пик в спектре люминесценции приходится на частоту в центре ближайшего к ЗЗ окна прозрачности, когда огибающая поля имеет один максимум на длине образца. Положение окна прозрачности сильно зависит от показателя преломления вещества, заполняющего полости сенсора. Определяя положение окна прозрачности, удается определить показатель преломления исследуемой субстанции. Чувствительность метода составляет 7 · 102 нм на единицу показателя преломления.
5.
ОБЗОР РАСЧЕТОВ ЭФФЕКТА УСИЛЕНИЯ ПОЛЯ
Впервые явление усиления поля внутри ФК при длине волны, находящейся внутри окна прозрачности, было теоретически показано в [16] для слоистой периодической среды с прямоугольной модуляцией профиля показателя преломления. Для этого особенного случая были получены выражения для поля в среде. Позже в [19] исследовалось влияние одномерной брэгговской решетки на параметрическое усиление света. Предполагалось, что показатель преломления решетки по толщине изменяется по гармоническому закону. Расчет проводили методом связанных волн (the coupled-mode equations). Следуя этому методу, считают, что поле является суммой нескольких волн, каждая из которых представляет собой волну на несущей частоте, промодулированную медленной огибающей. В случае [19] поле являлось суммой волн (сигнальной, накачки и холостой), распространяющихся как вперед, так и назад. Таким образом, было найдено приближенное распределение поля в среде. Заметим, что метод связанных волн дает верный результат лишь при малых вариациях диэлектрической проницаемости (ДП) среды. При вариации ДП порядка 10% от среднего значения положение окон прозрачности и, соответственно, частотных максимумов поля в среде заметно искажается этим методом, как показывает сравнение с точным расчетом [26]. Позже в [17] исследовалось прохождение света через повторяющийся N-раз плоский слой вещества. Для расчета использовался матричный метод. Следуя ему, коэффициенты отражения и пропускания через периодическую среду, а также плотность состояний были выражены через коэффициенты отражения и пропускания одного слоя. При этом эти коэффициенты для одного слоя надо рассчитывать для каждой частоты света. В [20–22] рассматривался эффект усиления поля у края ЗЗ при генерации 2‑й гармоники. Расчет в этих трех работах был выполнен методом связанных волн (МСВ). В [20] рассматривалась среда с гармоническим (по толщине) изменением ДП. В работе получены выражения для поля и коэффициентов пропускания и отражения среды. Было показано, что максимальное значение поля пропорционально числу слоев и амплитуде изменения диэлектрической проницаемости (ДП) среды. В работе рассматривались только соседние с ЗЗ окна прозрачности. В [21] среда предполагалась состоящей из плоских однородных слоев с резкими границами. Как и в [20], использовались уравнения МСВ. В работе было найдено, что ширина первого ОП прямо пропорциональна квадрату вариации ДП и обратно пропорциональна кубу числа периодов. В [22], независимо от [20], рассматривалась среда с гармонической вариацией ДП, и также были получены выражения для коэффициентов отражения и прохождения поля в среде. Также был установлен линейный рост максимального значения поля в ОП с ростом числа слоев. Во всех этих работах рассматривались только ближайшие к ЗЗ ОП. Только в [24] упомянуто, что добротность резонанса (иными словами, ширины ОП) убывает с ростом его номера. Авторы [24] рассматривают брэгговскую решетку как волновод, и в полученном одномерном ФК анализируют усиление поля в ОП. В этой работе при помощи численного расчета было показано увеличение максимума значения поля в окне прозрачности прямо пропорционально росту числа слоев и пропорциональность добротности числу слоев в кубе. В [25] получены выражения для поля внутри кристалла, показано, что максимум амплитуды поля пропорционален числу слоев, ширина первого окна прозрачности обратно пропорциональна кубу числа слоев, вычислена зависимость положения окна прозрачности от его номера и толщины ФК. Но часть этих зависимостей (связь ширины первого резонанса и числа слоев) дана без вывода или ссылки на него. Во многих работах численно рассчитывается этот эффект (например [45–47]). В них использовался матричный метод, метод связанных волн, метод конечных элементов. В большинстве работ эффект усиления поля вблизи ЗЗ рассматривался в связи с другими (как правило, нелинейными) эффектами.
В работе [26] к задаче нахождения поля в ФК вблизи ЗЗ предложен более универсальный подход. При нормальном падении световой волны с частотой ω1 на кристалл толщиной H поле в нем представляет сумму двух волн Блоха (ВБ) (рассматривались изотропные среды, в которых решение вырождено по поляризации двукратно, и выводы будут иметь отношение к каждой поляризации в отдельности) с квазиимпульсами q1 и q2 (ω(q1) = ω(q2) = ω1) (см.рис.6). Отстройки Δq = |q0 – q1| и Δq = |q0–q2–2π / d| (d – период структуры) ВБ с частотой положения середины окна прозрачности, при достаточно толстом кристалле будут малы (~1 / H) [26]. Поэтому соответствующие члены уравнения распространения света в [26] можно считать малыми поправками. Тогда (аналогично [49]) при помощи теории возмущений поле в близкой окрестности края ЗЗ (w0; q0) можно выразить через решения в точке q0. Так решение задачи получено через неизвестный набор собственных функций uq0,j(x), где j – номер зоны (j = 1, 2, …), который соответствует границе зоны. Это в [26] позволило, в частности, получить зависимости параметров окон (увеличение поля, положение максимумов, ширины окна) от таких параметров, как толщина слоя и номер окна без конкретизации профиля оптических свойств на периоде. Для получения численных результатов для конкретной структуры надо найти этот набор. На основании полученных зависимостей там же удалось получить зависимость положения краев и ширины запрещенной зоны бесконечно протяженного ФК от измеренного положения краев ЗЗ кристалла конечного размера.
Результаты расчетов для окон прозрачности с коротковолновой стороны ЗЗ представлены на рис. 7 [26]. Рассматривалась среда со средним значением показателя преломления n0 = 1,79, относительная амплитуда модуляции показателя преломления α = 0,33 с периодом 167,6 нм, резонансная длина волны 600 нм. Прямые на всех графиках – линейные аппроксимации соответствующих точек. В [26] для окна с номером n получено:
Emax = const · H / n. (1)
На рис. 7a, c показны для разных окон зависимости от толщины ФК коэффициента увеличения максимальной амплитуды поля, деленные на номер окна. Они в соответствии с выражением (1) хорошо легли на общую для всех окон прямую. Зависимость частоты окна от его номера и толщины ФК имеет вид [26]:
ω = ω0 + const · n2 / H2. (2)
Расчетные значения для разных окон в зависимости от квадрата обратной толщины окна приведены на рис. 7b. Видно, что в соответствии с выражением (2), они также хорошо аппроксимируются прямыми линиями. Подобное поведение расчетные значения показывают и в зависимости от квадрата номера окна. При этом из линейной аппроксимации зависимости положения резонанса от квадрата номера его для одного значения толщины кристалла можно определить точное значение частоты края ЗЗ для бесконечного ФК. Из (2) видно, что для бесконечно толстого кристалла частота края зоны равна свободному члену. Такую же процедуру можно провести и для другого края и таким образом находится ширина запрещенной зоны и можно оценить положение ее центра. В [26] показано, что ширина окна прозрачности имеет вид:
δω = const · n2 / H3. (3)
На рис. 7d показаны зависимости ширины для разных окон от обратного куба толшины.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Среди свойств фотонных кристаллов важную роль играют их резонансные свойства и, прежде всего, сильное повышение внутри ФК мощности светового излучения с длинами волн, внутри окон прозрачности в спектре, находящихся вблизи запрещенных зон. Расчеты показывают, что это повышение может составлять несколько порядков. Эксперименты подтверждают факт увеличения плотности мощности излучения с длиной волны, находящейся вблизи края ЗЗ. Оъяснение этого эффекта дается исследователями как на основе резонансных свойств такой структуры, так и на основе представлений о замедлении групповой скорости света в этой области.
Это свойство используется с разными целями: для создания миниатюрных лазеров с низким порогом генерации и управляемой длиной волны, при наблюдении нелинейных явлений при пониженной мощности излучения и возможностью создания на этой основе генераторов гармоник излучения, параметрических преобразователей частоты, преобразователей излучения на основе вынужденного комбинационого рассеяния света; при наблюдении слабых излучений при анализе веществ (фотолюминесценция, комбинационное рассеяние света); в солнечных батареях для повышения коэффициента преобразования солнечной энергии в электрическую; широко применяется в сенсорах различного типа, поскольку параметры окон прозрачности чувствительны к небольшим изменениям показателя преломления веществ, заполняющих пористые ФК или граничащих с волноводными ФК.
Теоретические основы резонансных свойств ФК изучаются давно, известны основные их свойства, однако они еще продолжают совершенствоваться до настоящего времени, что показывает незавершенность процесса нашего познания этого явления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Yablonovitсh Е. Phys.Rev.Lett.1987; 58, 2059.
2. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. Москва: Изд-во "Иностранная литература"; 1959.
Brillyuehn L., Parodi M. Rasprostranenie voln v periodicheskih strukturah. Moskva: Izd-vo "Inostrannaya literatura"; 1959.
3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Москва: Изд-во "Наука"; 1979
Born M., Vol’f EH. Osnovy optiki. Moskva: Izd-vo "Nauka"; 1979.
4. Валента Эд. Старые фотохимические способы и Липпманский способ прямой цветной интерференционной фотографии. Фотография в натуральных цветах. Ч. 1. Перевод с немецкого (1912) / под ред. Н. И. Кириллова. Тбилиси: Изд-во ВГНИиПИХФП, Институт кибернетики АН Гр.ССР; 1972.
Valenta EHd. Starye fotohimicheskie sposoby i Lippmanskij sposob pryamoj cvetnoj interferencionnoj fotografii. Fotografiya v natural’nyh cvetah. CH.1. Perevod s nemeckogo (1912) / pod red. N. I. Kirillova. Tbilisi: Izd-vo VGNIiPIHFP, Institut kibernetiki AN Gr.SSR; 1972.
5. Дидебулидзе А. Цветная фотография на солях серебра. Ее принципы, теория и практика. Кукарка: Изд-во Д. Д. Якимова; 1915.
Didebulidze A. Cvetnaya fotografiya na solyah serebra. Ee principy, teoriya i praktika. Kukarka: Izd-vo D.D. YAkimova; 1915.
6. Lord Rayleigh. On the Maintenance of Vibrations by Forces of Double Frequency, and on the Propagation of Waves through a Medium endowed with a Periodic Structure. Phil. Mag. S. 5.1887; August, 24:145–159.
7. Lord Rayleigh. On the Remarkable Phenomenon of Crystalline Reflexion described by Prof. Stokes Phil. Mag. S. 5. 1888; 26: 256–265.
8. Bhatia A. B., Noble W. J. Diffraction of light by ultrasonic waves. Proc. Roy.Soc.; 1953; A220: 356–385.
9. Phariseau P. On the diffraction of light by supersonic waves. Proc. Ind. Acad. Sci.; 1956; 44A: 165–170.
10. Darwin C. G. The Theory of X-Ray Reflection. Phil.Mag. 1914; 27: 315–333.
11. Конобеевский С. Т., Макс фон Лауэ. Успехи физических наук. 1960; 72(4): 82.
Konobeevskij S. T., Maks fon Laueh. Uspekhi fizicheskih nauk. 1960; 72(4): 82.
12. Быков В. П. ЖЭТФ. 1972; 62: 505.
Bykov V. P. JETP. 1972; 62: 505.
13. Горелик В. С., Квантовая электроника. 2007; 37 (5): 409–432.
Gorelik V. S., Quantum Electron. 2007; 37 (5): 409–432.
14. John S. Phys.Rev.Lett. 1987; 58: 2486.
15. Крайский А. А., Крайский А. В. Определение параметров голографического слоя по его спектральным характеристикам. Квантовая электроника. 2016; 46 (6): 558–566.
Krajskij A. A., Krajskij A. V. Opredelenie parametrov golograficheskogo sloya po ego spektral’nym harakteristikam. Kvantovaya ehlektronika. 2016; 46 (6): 558–566.
16. Капаев В. В. Квантовая электроника. 1989; 16(11): 2271–2278.
Kapaev V. V. Kvantovaya ehlektronika. 1989; 16(11): 2271–2278.
17. Bendickson J. M., Dowling J. P. Scalora M. Physical Review E, 1996; 53: 4107.
Крайский А. А., Крайский А. В. III Всероссийская конференция по фотонике и информационной оптике. Сб. науч.тр. Москва: Изд-во МИФИ. 2014; 61–62.
18. Krajskij A. A., Krajskij A. V. III Vserossijskaya konferenciya po fotonike i informacionnoj optike. Sb. nauch.tr. Moskva: Izd-vo MIFI. 2014; 61–62.
19. Steel M. J., Martijn C. de Sterke. J. Opt. Soc. Am. B, 1995; 12(12): 2442–2452.
20. Haus J. W., Viswanathan R., Scalora M. et al. Phys. Rev.A. 1998; 57(3): 2120–2128.
21. Pezzetta D., Sibilia С., Bertolotti M., Haus J. W. et al. J. Opt. Soc. Am. B. 2001; 18(9): 1326–1333.
22. C. De Angelis, Gringoli F., Midrio M. et al. JOSA B-Optical Physics. 2001; 18(3): 348.
23. Settimi A., Severini S., Mattiucci N. et al. Phys. Rev. E. 2003; 68: 026614.
24. Hopman W. C. L., Hoekstra H. J. W. M., Dekker R. et al. Optics Express. 2007; 15: 1851.
25. Figotin A., Vitebskiy I. Magnetic Faraday rotation in lossy photonic structures. Waves in Random and Complex Media. 2006; 16(3): 293–382.
26. Крайский А. А., Крайский А. В. О свойствах окон прозрачности вблизи края запрещенной зоны одномерного фотонного кристалла. КСФ. ФИАН. 2018; 2:37-46.
Krajskij A. A., Krajskij A. V. O svojstvah okon prozrachnosti vblizi kraya zapreshchennoj zony odnomernogo fotonnogo kristalla. KSF, FIAN. 2018; 2:37–46.
27. Казанов Д. Р., Пошакинский А. В., Шубина Т. В. Замедление света резонансными фотонными кристаллами со сложной элементарной ячейкой. Письма в ЖЭТФ. 2017; 105:1.
Kazanov D. R., Poshakinskij A. V., SHubina T. V. Zamedlenie sveta rezonansnymi fotonnymi kristallami so slozhnoj ehlementarnoj yachejkoj. Pis’ma v JETP. 2017; 105:1.
28. Hopman W. C.L. Light-Flow Characterization and Manipulation in 1 and 2 Dimensional Photonic Crystals. University of Twente. Enschede. The Netherlands: Wohrmann Print Service, 2007.
29. Zhang Ch., Zhang F., Xia T., Kumar N., Hahm J.-in, Liu J., Wang Zh.L., Xu J. Low-threshold two-photon pumped ZnO nanowire lasers. Optics Express. 2009; 17(10): 7893.
30. Mehdi Veysi, Mohamed A. K. Othman, AlexanderFigotin, FilippoCapolino. Degenerate band edge laser. Physical Review. 2018; 97 B; 195107.
31. Gorelik V. S., Kudryavtseva A. D., Orlovich V. A., Tareeva M. V., Tcherniega N. V., Vodchits A. I. Stimulated Raman scattering of light in artificial opal filled by water. JRLR. 2011; 32(3): 129–138.
Горелик В. С., Козулин Р. К. Высокочувствительные сенсоры молекулярных соединений на основе глобулярных фотонных кристаллов. КСФ. ФИАН. 2012; 7: 23–29.
32. Gorelik V. S., Kozulin R. K. Vysokochuvstvitel’nye sensory molekulyarnyh soedinenij na osnove globulyarnyh fotonnyh kristallov. KSF. FIAN. 2012; 7: 23–29.
Горелик В. С. Оптические и диэлектрические свойства наноструктурированных фотонных кристаллов, заполненных сегнетоэлектриками и металлами. Физика твердого тела. 2009; 51(7):1252–1258.
33. Gorelik V. S. Opticheskie i diehlektricheskie svojstva nanostrukturirovannyh fotonnyh kristallov, zapolnennyh segnetoehlektrikami i metallami. Fizika tverdogo tela. 2009; 51(7):1252–1258.
34. Mamichev D. A., Gonchar K. A., Timoshenko V. Y. et al. J. Raman. Spectrosc. 2011; 42: 1392–1395.
35. Дьяков С. А. Исследование оптических свойств одномерных и двумерных кремниевых нано- и микроструктур. Автореферат диссертация … кандидата физико-математических наук: 01.04.05; место защиты: МГУ им. М. В. Ломоносова. Москва, 2012.
D’yakov S. A. Issledovanie opticheskih svojstv odnomernyh i dvumernyh kremnievyh nano- i mikrostruktur. Avtoreferat dissertaciya … kandidata fiziko-matematicheskih nauk: 01.04.05; mesto zashchity: MSU named by M. V. Lomonosova. Moscow; 2012.
36. Deparis O., Mouchet S. R., Su B.-L. Light harvesting in photonic crystals revisited: why do slow photons at the blue edge enhance absorption?.Phys.Chem.Chem.Phys.2015; 17: 30525.
37. Veldhuis G. J., Berends J. H., Heideman R. G., Lambeck P. V. Integrated optical Bragg-reflector used as a chemo-optical sensor. Pure and applied optics. 1998; 7: L23-L26.
38. Nunes P. S., Mortensen N. A., Kutter J. P., Mogensen K. B. Refractive Index Sensor Based on a 1D Photonic Crystal in a Microfluidic Channel Sensors. 2010; 10: 2348–2358. doi:10.3390 / s100302348.
39. Hopman W. C. L., Pottier P., Yudistira D., van Lith J., Lambeck P., De La Rue R. M., Driessen A., Hoekstra H. J. W. M., de Ridder R. M. Quasi-one-dimensional photonic crystal as a compact building-block for refractometric optical sensors. IEEE Journal Of Selected Topics In Quantum Electronics. 2005; 11: 11–16.
40. Banerjee A. Enhanced refractometric optical sensing by using one-dimensional ternary photonic crystals. Progress In Electromagnetics Research. PIER. 2009; 89, 11–22.
41. Lambrecht A., Hartwig S., Schweizer S. L. et al. Miniature infrared gas sensors using photonic crystals. Proceedings of SPIE. 2007; 6480: 64800D.
42. Jensen K. H., Alam M. N., Scherer B. et al. Slow-light enhanced light-matter interactions with applications to gas sensing. Optics Communications. 2008; 281 (21): 5335–5339.
43. Pergande D., Geppert T. M., Rhein A. V. et al. Miniature infrared gas sensors using photonic crystals. Journal of Applied Physics. 2011; 109 (8): 083117.
44. Wang B. W., Dundar M. A., Nцtzel R. et al. Photonic crystal slot nanobeam slow light waveguides for refractive index sensing. Applied Physics Letters. 2010; 97 (15): 151105.
45. Merklein M., Kabakova I. V., Buettner T. F.S. et al. Nat.Comms. 2015. DOI:10.1038 / ncomms7396.
46. Wicharn S., Buranasiri Pr., Ruttanapunt Ch. et al. App.Optics. 2013; 52(25):6090–6099.
47. Shereena J., M. Sh. Khan, A. Kh. Hafiz. Physics Letters. 2014; A 378; 1296–1302.
48. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. изд. 2-е. Москва: Изд-во "Наука"; 1963.
Landau L. D., Lifshic E. M. Kvantovaya mekhanika. izd.2 e. Moskva: Izd-vo "Nauka"; 1963.
Интерес к исследованиям свойств фотонных кристаллов (ФК) переживал рост до начала десятых годов нашего века. Об этом свидетельствуют данные поисковой системы GOOGLE SCOLAR: число публикаций в этом направлении росло. Затем интерес уверенно стабилизировался на среднем уровне 582 публикаций в год со стандартным отклонением в 22 публикации (рис. 1). Причина взрывного интереса к этому направлению вызвана прогрессом в материаловедении и возможностью создания точно заданных конструкций материалов с необходимыми свойствами. Стимулируют интерес также возможности предельной миниатюризации устройств и получения устройств с высокими эксплуатационными свойствами.
Здесь представлен обзор исследований, связанных с эффектом усиления поля в окнах прозрачности вблизи запрещенной зоны (ЗЗ) ФК и с некоторыми важными, с нашей точки зрения, применениями этого эффекта.
Термин ФК является переводом английского термина "photonic crystal" и достаточно уверенно установился в русском языке, хотя подвергался критике, видимо, с достаточными основаниями. Английский термин был введен в работе [1].
2.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ
ФК – это среды с пространственно-периодическими оптическими свойствами, когда период сопоставим с длиной волны излучения. Для трехмерной среды периодичность может проявляться по всем трем измерениям аналогично расположению структурных элементов в природных кристаллах. В этом случае они называются трехмерными кристаллами (3-d кристаллы). Плоско-слоистую структуру часто называют одномерным ФК. В планарных средах при периодически структурированных оптических свойствах волновода по двум или одному измерению также можно говорить о двумерных и одномерных кристаллах. И для волоконных, действительно одномерных структур также могут существовать фотонно-кристаллические структуры, например − брэгговские зеркала, когда оптические свойства волоконного волновода периодически изменяются по пространству. Общим для всех таких структур свойством является наличие "запрещенной зоны", т.е области для длин волн в спектре, которые не могут распространяться в каком-либо диапазоне направлений.
Распространение волн различной природы в периодических структурах подробно рассматривалось достаточно давно (см., например [2, 3]) и продолжает быть предметом исследований до настоящего времени. Причем, по данным той же системы GOOGLE SCOLAR, это направление в науке, начиная с середины 90-х годов прошлого века от уровня менее 100 публикаций в год постоянно увеличивает число публикаций. В прошлом году уровень достиг более 1400 работ в год. Впервые эти среды были созданы и изучались в оптике еще в 19 веке: фотография в натуральных цветах, открытая Эд. Беккерелем во второй трети века и доведенная до законченного вида Липпманом [4, 5] в конце века (за что в 1908 году он получил Нобелевскую премию). Позднее на этой основе сформировалась голография Денисюка. Первым наблюдавшееся Беккерелем явление объяснил Ценкер [4, 5], затем его теорию развил Рэлей [6, 7]. В акустооптике рассматривалась дифракция света на ультразвуке (например [8, 9]). В кристаллографии рассматривалась дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке (см., например [10, 11]). В твердом теле явления переноса связаны с движением электронов в периодической кристаллической структуре. Там же сложилось важное для таких сред понятие зонной структуры с запрещенными зонами в энергетическом спектре, в пределах которых невозможно распространение однородной волны. Эти представления были использованы и при исследованиях фотонных кристаллов (см., например [1]). Понятие ЗЗ является одним из ключевых в науке о ФК. Впервые возможность формирования ЗЗ установил В. П. Быков [12]. В дальнейшем их свойства изучались независимо от этой работы [13, 14]. Понятие такой запрещенной зоны относится к бесконечному кристаллу, в случае одномерной плоскослоистой среды – к ФК бесконечной толщины. В них для любой величины амплитуды модуляции переменной части оптических свойств не могут существовать волны с частотами, лежащими внутри ЗЗ, соответствующих таким оптическим характеристикам.
3.
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНЫХ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ
Реальные ФК имеют конечные размеры, что приводит к некоторым отличиям их свойств. Проще всего наличие ЗЗ и сущности эффекта можно показать на примере многослойной периодической структуры, когда оптические характеристики изменяются только по глубине слоя. Прежде чем рассматривать свойства ФК конечной толщины, покажем, как обстоит ситуация с распространением волн в одномерной периодической среде.
Хорошо известно, что в спектре отражения периодической структуры при малых значениях переменной части показателя преломления и не слишком толстом слое имеется резонансная длина волны, для которой коэффициент отражения максимален. По мере отстройки частоты падающего света от резонансной коэффициент отражения падает и вырисовывается спектр коэффициента отражения такой структуры (рис. 2).
Расчет проводился для гармонического изменения показателя преломления n = n0(1 + v cos (2px / d)), где среднее значения показателя преломления n0 = 1,33; относительная амплитуда переменной части показателя преломления v = 0,002; период – 167,6 нм, резонансная длина волны λр = 600 нм, толщина слоя 20 мкм. Подробнее о мало известных особенностях этого спектра см. [15].
При увеличении коэффициента отражения до 0,1 для резонансной длины волны, например, вследствие увеличения относительной амплитуды переменной части показателя преломления, форма спектрального максимума коэффициента отражения практически не изменяется. При дальнейшем росте резонансного коэффициента отражения форма спектрального пика начинает изменяться, он уширяется и постепенно принимает характерный для ФК вид [15].
На рис. 3 показан рассчитанный нами спектр пропускания такой среды при нормальном падении плоской волны на слой. Видна ЗЗ с центром при 600 нм. В пределах этой ЗЗ практически отсутствует пропускание. При длинах волн λn = λр / n (n = 1, 2, …) также могут проявляться провалы пропускания, т. е. ЗЗ более высокого порядка по шкале частот (ωn = n · ωр, где ωр = 2 π c / λр). Вблизи ЗЗ видна интерференционная структура, определяемая числом периодов ФК. При увеличении амплитуды переменной части показателя преломления пропускание в минимумах этой структуры вблизи ЗЗ значительно падает. Таким образом формируются узкие зоны пропускания. Две такие зоны, первая и вторая, показаны на рис. 4a. Такие спектральные структуры мы называем окнами прозрачности. Первые справа и слева окна ограничивают ЗЗ (см. рис. 3a). В этих окнах амплитуда поля может значительно увеличиваться [16–26]. На рис. 3b показана пространственная картина распределения амплитуды поля по глубине для длины волны 565,76 нм, которая соответствует максимуму первого коротковолнового окна прозрачности. Это характерная картина интерференции двух встречных волн, которые в ФК являются волнами Блоха. На входной плоскости (слева) амплитуда поля равна единице, т. е. равна входному полю, поскольку коэффициент отражения равен нулю. На выходной плоскости амплитуда поля также равна единице, поскольку пропускание полное.
Расчет показывает, что для излучения с длиной волны 600 нм (центр зоны) на входной плоскости наблюдается отраженная волна той же интенсивности, что и падающая на слой волна, поскольку коэффициент отражения практически равен единице. Поэтому в окрестности ближайшего интерференционного максимума амплитуда поля увеличивается в 2 раза (интенсивность увеличивается в 4 раза). Далее в глубину максимальная амплитуда убывает экспоненциально в e раз с глубиной затухания около 1 мкм. Для излучения в максимуме коротковолнового окна прозрачности (λ = 566,06 нм) распределение амплитуды поля по глубине показано на рис. 3b. Увеличение амплитуды максимально в центре слоя и составляет 3,45 тн.ед., что соответствует увеличению интенсивности излучения в 12 раз.
На рис. 4a показаны для коротковолнового края ЗЗ первое и второе окна прозрачности для слоя ФК толщиной 10,076 мкм. На рис. 4b показано распределение амплитуды поля по глубине для первого и второго окон прозрачности.
Еще одно известное существенное свойство распространения света в ФК в окнах прозрачности состоит в том, что поле с длиной волны, лежащей в области длинноволнового окна прозрачности, сосредотачивается преимущественно в оптически более плотных слоях, а излучения с динами волн из коротковолнового окна прозрачности – преимущественно в менее плотных слоях (рис. 5).
Более тонкий слой имеет бульшую плотность, и там для длинноволнового края (рис. 5a) расположены максимумы поля. Для коротковолнового края (рис. 5b) максимумы поля располагаются в толстом, менее плотном слое. При использовании описываемого эффекта это свойство надо иметь в виду. В частности, это важно для нелинейных процессов, когда два поля, взаимодействующие с одним из веществ, составляющих период, располагаются в различных спектральных интервалах.
4.
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ФК ВБЛИЗИ КРАЯ ЗЗ
Обсуждаемый эффект находит широкое применение. На его основе рассматривается использование ФК для задержки коротких световых импульсов [27]; для создания низкопороговых лазеров [29–30]; для понижения уровня мощности излучения в нелинейных эффектах, в частности для понижения порога ВКР [31]; для повышения мощности вторичного излучения – люминесценции и комбинационного рассеяния света [32–35]; для увеличения преобразования света в солнечных батареях [36]; для использования в качестве сенсоров [37–44]; параметрических преобразователей частоты [18]; генераторов гармоник [19–21] и во многих других применениях.
4.1.
О медленном свете и линиях задержки
Для одномерного ФК дисперсионная кривая для частот между двумя ЗЗ показана на рис. 6. По аналогии с понятием квазичастиц в теории твердого тела, с учетом того, что групповая скорость света в оптически плотной среде дается выражением
Vg = ∂ω / ∂q,
достаточно давно многие исследователи пользуются понятием "медленный свет" для излучения с длиной волны, находящейся вблизи края ЗЗ, поскольку на краю зоны эта производная дисперсионной кривой обращается в 0. На основании этих представлений были проведены эксперименты. В них наблюдалось увеличение эффективности взаимодействия света со средой в поглощении, рассеянии, преобразовании света и т. п., что объяснялось увеличением плотности мощности вследствие замедления света (подробнее см., например в [13]). Следует, однако, иметь в виду, что вблизи края ЗЗ области малой групповой скорости имеют очень узкую спектральную протяженность. Поэтому при объяснении наблюдаемого эффекта таким образом возникает вопрос – корректно ли использовать понятие групповой скорости при крайне сильной дисперсии по отношению к импульсу конечной ширины.
В работе [27] теоретически изучено прохождение коротких импульсов света через периодические структуры со сложной элементарной ячейкой с несколькими типами экситонных квантовых ям на периоде. Рассматривались структуры с 70–80 периодами, имеющие ЗЗ. Авторы сообщают, что параметры этой структуры были оптимизированы на максимальное замедление с минимальными потерями и малыми искажениями формы импульса. Была получена расчетная задержка в 2 пс, что соответствует замедлению скорости света по сравнению с вакуумом в 50 раз. Интенсивность импульса при прохождении такой структуры по расчетам уменьшается в 4 раза. Это возможно лишь для импульсов с достаточно узким спектром длительностью более 10 пс.
4.2.
НИЗКОПОРОГОВЫЕ ЛАЗЕРЫ И НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА
Достоинством фотонных кристаллов является увеличение плотности мощности излучения в специфических областях пространства, когда спектр излучения находится вблизи края запрещенной зоны в окнах прозрачности. Это может понижать пороги нелинейных явлений. В частности, при введении в область повышенной мощности усиливающей среды можно получать низкопороговую лазерную генерацию [29, 30].
В [29] для управления длины волны низкопороговой генерации использовалось таммовское состояние в запрещенной зоне одномерной периодической структуры с дефектом. Так называется состояние с окном прозрачности, возникающее в ЗЗ периодической структуры, имеющей дефект в периодичности. При этом для излучения в этом окне прозрачности происходит сильное усиление амплитуды поля, как правило, значительно более сильное, нежели для соседнего с ЗЗ окна прозрачности идеального кристалла. В окрестности дефекта при этом наблюдается пространственная локализация излучения. В случае толстого дефектного слоя – это, в сущности, интерферометр Фабри-Перо. В работе [29] авторы заполняли дефект нематическим жидким кристаллом для возможности управления таммовским состоянием.
Многослойная структура составлялась из слоев SiO2 и TiO2, нанесенных на покрытую In-Sn оксидом стеклянную подложку. Показатели преломления SiO2 и TiO2 составляли 1,45 и 2,35 соответственно. Толщины слоев SiO2 и TiO2 были 103 нм и 64 нм соответственно. В результате центр ЗЗ находился на длине волны 600 нм. На подложку было нанесено 5 пар слоев SiO2 и TiO2. Два таких образца накладывались друг на друга так, что покрытия были обращены друг к другу, разделенные зазором толщиной 1 мкм. Этот зазор заполнялся жидким кристаллом (ЖК), который ориентировался параллельно поверхностям образцов. Показатели преломления обыкновенного и необыкновенного лучей составляют no = 1,5 и ne = 1,7 соответственно. Для излучения, электрическое поле которого ориентировано вдоль оси y, все 4 окна прозрачности внутри ЗЗ при превышении приложеного напряжения выше 1 В начинали смещаться в коротковолновую область и смещались на 40 нм при напряжении 8 В.
Для лазерного эксперимента в подобную схему в зазор к ЖК заполнению в качестве активной среды примешивался краситель. Среда возбуждалась 8-нс импульсом 2‑й гармоники неодимового лазера (Nd:YAG). Порог возникновения сильного излучения по оценке авторов составлял 5мкДж / импульс. Смещение линии излучения составил 25 нм при приложении напряжения 2 В.
В [30] предлагается схема, в которой по расчетам авторов можно понизить порог генерации по закону N‑5, где N – число периодов фотонной структуры.
Эффект повышения мощности светового излучения в ФК вблизи края ЗЗ применялся и при исследовании ВКР. В [31] при насыщении искусственного опала нитробензолом наблюдалось понижение порога генерации в нитробензоле не менее чем в 20 раз.
4.3.
НАБЛЮДЕНИЕ ЛЮМИНЕСЦЕНЦИИ И КОМБИНАЦИОННОГО РАССЕЯНИЯ СВЕТА
Также эффект повышения плотности мощности светового излучения вблизи края ЗЗ применялся для повышения величины сигнала при исследованиях комбинационного рассеяния света и люминесценции, когда вблизи края ЗЗ находилось либо возбуждающее, либо испускаемое излучение. В [32] сообщается об увеличении интенсивности люминесценции ДНК, введенной в искусственный опал.
В [33] cообщается о возможности модификации сегнетоэлектрических свойств материалов при введении их в поры искусственных опалов и рассмотрены особенности физических свойств искусственных опалов, в поры которых вводятся проводящие среды: ртуть, аморфный углерод, серебро, золото и др. Анализируются спектры пропускания и отражения широкополосного излучения, позволяющие установить характеристики стоп-зон в зависимости от диаметра глобул, типа сегнетоэлектрика или металла, вводимого в поры опала, условий температурного отжига и т. д. Сообщается об условиях излучения медленных электромагнитных волн в искусственных опалах и их характерных свойствах. Анализируются возможности возрастания эффективности комбинационных и нелинейно-оптических процессов в фотонных кристаллах, заполненных сегнетоэлектриками и металлами.
В [34] описывается усиление комбинационного рассеяния света при возбуждении светом с λ = 1,06 мкм в ФК структурах ПК в области фотонной запрещенной зоны 0,9–1,2 мкм.
В [35] моделировалась ФК структура, образованная 21 парой слоев пористого кремния (ПК) с толщинами d1 = 100 нм (n1 = 2,36) и d2 = 130 нм (n2 = 1,91) и однородного слоя ПК с толщиной, равной толщине модельной структуры (n = 2,36). Показано, в частности, что имеется резонансное проникновение возбуждающего поля вглубь структуры. Спектр эффективности выхода излучения КРС смещен на 520 см‑1 – на максимальную частоту оптического фонона в кристаллическом кремнии, т. е. показано наличие резонансного выхода рассеянного излучения из структуры. Дано объяснение экспериментально наблюдаемого эффекта многократного усиления стоксовой компоненты рассеянного света. Предсказана возможность усиления антистоксовой компоненты комбинационного рассеяния света при возбуждении вблизи краев фотонно-кристаллической запрещенной зоны.
В [36] на основании проведенных теоретических исследований оптических свойств фотонно-кристаллических катализаторов на основе TiO2 в области ЗЗ авторы приходят к выводу, что, хотя поглощение излучения в коротковолновой (синей) окрестности ЗЗ ранее наблюдалось в инвертированных опалах на основе TiO2, оно не было подстроено под характеристики материала. По результатам расчетов сделан вывод о том, что оптимизация не только красной границы ЗЗ, но и синей приведет к усиленному поглощению и, следовательно, повысит выход фотокаталитической реакции. Авторы полагают, что их теоретические результаты помогут улучшить фотокаталитическую активность инвертированных опалов на основе TiO2, а также вызовут новые разработки в других смежных областях, таких как фотовольтаика.
4.4. ПРИМЕНЕНИЯ В СЕНСОРАХ
Остановимся подробнее на сенсорах, работающих с использованием этого эффекта. Преимуществом таких сенсоров являются небольшие размеры вкупе с высокой точностью измерений. Часто такие сенсоры создают для встраивания в чип.
В работе [37] исследовались сенсоры, использующие частотный диапазон вблизи ЗЗ. В работе было предложено использовать в качестве сенсора брэгговскую решетку, соприкасающуюся с исследуемым газом. Свет входил сбоку в торец решетки, и смотрелось отражение назад. Положение ЗЗ в образованном одномерном ФК зависело от показателя преломления среды, соприкасающейся с решеткой. По положению середины ЗЗ определяется значение показателя преломления исследуемой среды, по которому судили о концентрации интересующего компонента. Точность измерений составляла 2Ч10–5, при размерах образца 1,6 мм. Похожая геометрия сенсора была предложена в [38], где измерялась интенсивность не отраженной, а прошедшей волны.
В работе [39] также предложен сенсор на основе брэгговской решетки. Свет так же входил в торец. Частота света подбиралась близкой к границе ЗЗ решетки, действовавшей как волновод. Измерялась интенсивность прошедшего света на выбранных частотах вблизи ЗЗ. При небольшом изменении показателя преломления среды, соприкасающейся с решеткой, положение ЗЗ несколько сдвигалось по частоте. Наклон зависимости коэффициента пропускания от частоты падающего света на границе ЗЗ очень велик, и при небольшом изменении показателя преломления интенсивность прошедшего излучения изменялась значительно. Таким образом, был получен достаточно чувствительный сенсор (чувствует изменение показателя преломления среды 4Ч10–4) при размерах решетки 76,19 мкм (401 период).
В работе [40] было сделано усовершенствование, повысившее чувствительность прибора. Так же исследовалась интенсивность света, прошедшего вдоль брэгговской решетки, работавшей как одномерный фотонный кристалл-волновод. Однако следили не за изменением интенсивности на выбранной вблизи ЗЗ длине волны, которое происходило за счет изменения положения ЗЗ с изменением коэффициента преломления исследуемого газа, а за перемещением ближнего к ЗЗ окна прозрачности. Поскольку с увеличением толщины ФК это окно можно сделать очень узким [26], то точность измерения показателя преломления газа, а следовательно, и его концентрации можно сделать достаточно высокой. В работе сдвиг окна на 3,5нм происходил при изменении показателя преломления на 0,01, при этом толщина образца составляла 1 200 нм.
Эффект усиления поля в окнах прозрачности эффективно работает при измерении концентрации слабо поглощающих веществ. При прохождении света через газ частоты, находящиеся внутри линии поглощения газа, будут ослабляться. Однако это ослабление может быть слишком мало из-за относительно невысоких плотностей газов при атмосферном давлении. В сенсорах, где свет напрямую идет через газ (без ФК), для возможности регистрации этих изменений необходима значительная длина пути, вдоль которого свет взаимодействует с исследуемым веществом. Заметим, что потери в интенсивности излучения за счет поглощения пропорциональны этой интенсивности и, соответственно, модулю поля в квадрате. Если совместить линию поглощения газа и окно прозрачности, то из-за наличия периодической структуры фотонного кристалла поле в нем возрастет [15, 16], причем на значительную величину, пропорциональную числу периодов ФК. Соответственно вырастут и потери. Следовательно, можно изготовить сенсоры меньших размеров с большей чувствительностью [41–43]. В [42] этот эффект дал возможность создать зонд микрометрических размеров, что важно, например, в миниатюрных устройствах. Поглощение кислорода в окружающем воздухе на линии 760 нм составляет порядка 2,6% при длине оптического пути около 1 м. Используется эта линия, поскольку для нее спектр поглощения О2 минимально чувствителен к изменениям температур, и на него оказывает влияние лишь изменение давления. Самая низкая концентрация кислорода, которая может быть измерена, составляет около 20–50 ppm (частиц на миллион), что соответствует изменению коэффициента пропускания на величину около 0,0005. Наименьшее экспериментально обнаруженное поглощение в эксперименте примерно в 3 раза превышает предельный уровень дробового шума и составляет около 10–6. Это при измерениях в свободном пространстве соответствует концентрации около 8 ppm при длине пути в 1 м. Отметим, что в определенном смысле применение ФК с такими свойствами можно интерпретировать как давно известный метод применения многопроходных кювет.
В сенсоре, предложенном в [44], исследуется влияние периодической структуры фотонного кристалла на фотолюминесценцию вещества, которое заполняет одномерный ФК. Он представляет собой волновод, образованный двумя параллельными рядами отверстий и щелью между ними. Пик в спектре люминесценции приходится на частоту в центре ближайшего к ЗЗ окна прозрачности, когда огибающая поля имеет один максимум на длине образца. Положение окна прозрачности сильно зависит от показателя преломления вещества, заполняющего полости сенсора. Определяя положение окна прозрачности, удается определить показатель преломления исследуемой субстанции. Чувствительность метода составляет 7 · 102 нм на единицу показателя преломления.
5.
ОБЗОР РАСЧЕТОВ ЭФФЕКТА УСИЛЕНИЯ ПОЛЯ
Впервые явление усиления поля внутри ФК при длине волны, находящейся внутри окна прозрачности, было теоретически показано в [16] для слоистой периодической среды с прямоугольной модуляцией профиля показателя преломления. Для этого особенного случая были получены выражения для поля в среде. Позже в [19] исследовалось влияние одномерной брэгговской решетки на параметрическое усиление света. Предполагалось, что показатель преломления решетки по толщине изменяется по гармоническому закону. Расчет проводили методом связанных волн (the coupled-mode equations). Следуя этому методу, считают, что поле является суммой нескольких волн, каждая из которых представляет собой волну на несущей частоте, промодулированную медленной огибающей. В случае [19] поле являлось суммой волн (сигнальной, накачки и холостой), распространяющихся как вперед, так и назад. Таким образом, было найдено приближенное распределение поля в среде. Заметим, что метод связанных волн дает верный результат лишь при малых вариациях диэлектрической проницаемости (ДП) среды. При вариации ДП порядка 10% от среднего значения положение окон прозрачности и, соответственно, частотных максимумов поля в среде заметно искажается этим методом, как показывает сравнение с точным расчетом [26]. Позже в [17] исследовалось прохождение света через повторяющийся N-раз плоский слой вещества. Для расчета использовался матричный метод. Следуя ему, коэффициенты отражения и пропускания через периодическую среду, а также плотность состояний были выражены через коэффициенты отражения и пропускания одного слоя. При этом эти коэффициенты для одного слоя надо рассчитывать для каждой частоты света. В [20–22] рассматривался эффект усиления поля у края ЗЗ при генерации 2‑й гармоники. Расчет в этих трех работах был выполнен методом связанных волн (МСВ). В [20] рассматривалась среда с гармоническим (по толщине) изменением ДП. В работе получены выражения для поля и коэффициентов пропускания и отражения среды. Было показано, что максимальное значение поля пропорционально числу слоев и амплитуде изменения диэлектрической проницаемости (ДП) среды. В работе рассматривались только соседние с ЗЗ окна прозрачности. В [21] среда предполагалась состоящей из плоских однородных слоев с резкими границами. Как и в [20], использовались уравнения МСВ. В работе было найдено, что ширина первого ОП прямо пропорциональна квадрату вариации ДП и обратно пропорциональна кубу числа периодов. В [22], независимо от [20], рассматривалась среда с гармонической вариацией ДП, и также были получены выражения для коэффициентов отражения и прохождения поля в среде. Также был установлен линейный рост максимального значения поля в ОП с ростом числа слоев. Во всех этих работах рассматривались только ближайшие к ЗЗ ОП. Только в [24] упомянуто, что добротность резонанса (иными словами, ширины ОП) убывает с ростом его номера. Авторы [24] рассматривают брэгговскую решетку как волновод, и в полученном одномерном ФК анализируют усиление поля в ОП. В этой работе при помощи численного расчета было показано увеличение максимума значения поля в окне прозрачности прямо пропорционально росту числа слоев и пропорциональность добротности числу слоев в кубе. В [25] получены выражения для поля внутри кристалла, показано, что максимум амплитуды поля пропорционален числу слоев, ширина первого окна прозрачности обратно пропорциональна кубу числа слоев, вычислена зависимость положения окна прозрачности от его номера и толщины ФК. Но часть этих зависимостей (связь ширины первого резонанса и числа слоев) дана без вывода или ссылки на него. Во многих работах численно рассчитывается этот эффект (например [45–47]). В них использовался матричный метод, метод связанных волн, метод конечных элементов. В большинстве работ эффект усиления поля вблизи ЗЗ рассматривался в связи с другими (как правило, нелинейными) эффектами.
В работе [26] к задаче нахождения поля в ФК вблизи ЗЗ предложен более универсальный подход. При нормальном падении световой волны с частотой ω1 на кристалл толщиной H поле в нем представляет сумму двух волн Блоха (ВБ) (рассматривались изотропные среды, в которых решение вырождено по поляризации двукратно, и выводы будут иметь отношение к каждой поляризации в отдельности) с квазиимпульсами q1 и q2 (ω(q1) = ω(q2) = ω1) (см.рис.6). Отстройки Δq = |q0 – q1| и Δq = |q0–q2–2π / d| (d – период структуры) ВБ с частотой положения середины окна прозрачности, при достаточно толстом кристалле будут малы (~1 / H) [26]. Поэтому соответствующие члены уравнения распространения света в [26] можно считать малыми поправками. Тогда (аналогично [49]) при помощи теории возмущений поле в близкой окрестности края ЗЗ (w0; q0) можно выразить через решения в точке q0. Так решение задачи получено через неизвестный набор собственных функций uq0,j(x), где j – номер зоны (j = 1, 2, …), который соответствует границе зоны. Это в [26] позволило, в частности, получить зависимости параметров окон (увеличение поля, положение максимумов, ширины окна) от таких параметров, как толщина слоя и номер окна без конкретизации профиля оптических свойств на периоде. Для получения численных результатов для конкретной структуры надо найти этот набор. На основании полученных зависимостей там же удалось получить зависимость положения краев и ширины запрещенной зоны бесконечно протяженного ФК от измеренного положения краев ЗЗ кристалла конечного размера.
Результаты расчетов для окон прозрачности с коротковолновой стороны ЗЗ представлены на рис. 7 [26]. Рассматривалась среда со средним значением показателя преломления n0 = 1,79, относительная амплитуда модуляции показателя преломления α = 0,33 с периодом 167,6 нм, резонансная длина волны 600 нм. Прямые на всех графиках – линейные аппроксимации соответствующих точек. В [26] для окна с номером n получено:
Emax = const · H / n. (1)
На рис. 7a, c показны для разных окон зависимости от толщины ФК коэффициента увеличения максимальной амплитуды поля, деленные на номер окна. Они в соответствии с выражением (1) хорошо легли на общую для всех окон прямую. Зависимость частоты окна от его номера и толщины ФК имеет вид [26]:
ω = ω0 + const · n2 / H2. (2)
Расчетные значения для разных окон в зависимости от квадрата обратной толщины окна приведены на рис. 7b. Видно, что в соответствии с выражением (2), они также хорошо аппроксимируются прямыми линиями. Подобное поведение расчетные значения показывают и в зависимости от квадрата номера окна. При этом из линейной аппроксимации зависимости положения резонанса от квадрата номера его для одного значения толщины кристалла можно определить точное значение частоты края ЗЗ для бесконечного ФК. Из (2) видно, что для бесконечно толстого кристалла частота края зоны равна свободному члену. Такую же процедуру можно провести и для другого края и таким образом находится ширина запрещенной зоны и можно оценить положение ее центра. В [26] показано, что ширина окна прозрачности имеет вид:
δω = const · n2 / H3. (3)
На рис. 7d показаны зависимости ширины для разных окон от обратного куба толшины.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Среди свойств фотонных кристаллов важную роль играют их резонансные свойства и, прежде всего, сильное повышение внутри ФК мощности светового излучения с длинами волн, внутри окон прозрачности в спектре, находящихся вблизи запрещенных зон. Расчеты показывают, что это повышение может составлять несколько порядков. Эксперименты подтверждают факт увеличения плотности мощности излучения с длиной волны, находящейся вблизи края ЗЗ. Оъяснение этого эффекта дается исследователями как на основе резонансных свойств такой структуры, так и на основе представлений о замедлении групповой скорости света в этой области.
Это свойство используется с разными целями: для создания миниатюрных лазеров с низким порогом генерации и управляемой длиной волны, при наблюдении нелинейных явлений при пониженной мощности излучения и возможностью создания на этой основе генераторов гармоник излучения, параметрических преобразователей частоты, преобразователей излучения на основе вынужденного комбинационого рассеяния света; при наблюдении слабых излучений при анализе веществ (фотолюминесценция, комбинационное рассеяние света); в солнечных батареях для повышения коэффициента преобразования солнечной энергии в электрическую; широко применяется в сенсорах различного типа, поскольку параметры окон прозрачности чувствительны к небольшим изменениям показателя преломления веществ, заполняющих пористые ФК или граничащих с волноводными ФК.
Теоретические основы резонансных свойств ФК изучаются давно, известны основные их свойства, однако они еще продолжают совершенствоваться до настоящего времени, что показывает незавершенность процесса нашего познания этого явления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Yablonovitсh Е. Phys.Rev.Lett.1987; 58, 2059.
2. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. Москва: Изд-во "Иностранная литература"; 1959.
Brillyuehn L., Parodi M. Rasprostranenie voln v periodicheskih strukturah. Moskva: Izd-vo "Inostrannaya literatura"; 1959.
3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Москва: Изд-во "Наука"; 1979
Born M., Vol’f EH. Osnovy optiki. Moskva: Izd-vo "Nauka"; 1979.
4. Валента Эд. Старые фотохимические способы и Липпманский способ прямой цветной интерференционной фотографии. Фотография в натуральных цветах. Ч. 1. Перевод с немецкого (1912) / под ред. Н. И. Кириллова. Тбилиси: Изд-во ВГНИиПИХФП, Институт кибернетики АН Гр.ССР; 1972.
Valenta EHd. Starye fotohimicheskie sposoby i Lippmanskij sposob pryamoj cvetnoj interferencionnoj fotografii. Fotografiya v natural’nyh cvetah. CH.1. Perevod s nemeckogo (1912) / pod red. N. I. Kirillova. Tbilisi: Izd-vo VGNIiPIHFP, Institut kibernetiki AN Gr.SSR; 1972.
5. Дидебулидзе А. Цветная фотография на солях серебра. Ее принципы, теория и практика. Кукарка: Изд-во Д. Д. Якимова; 1915.
Didebulidze A. Cvetnaya fotografiya na solyah serebra. Ee principy, teoriya i praktika. Kukarka: Izd-vo D.D. YAkimova; 1915.
6. Lord Rayleigh. On the Maintenance of Vibrations by Forces of Double Frequency, and on the Propagation of Waves through a Medium endowed with a Periodic Structure. Phil. Mag. S. 5.1887; August, 24:145–159.
7. Lord Rayleigh. On the Remarkable Phenomenon of Crystalline Reflexion described by Prof. Stokes Phil. Mag. S. 5. 1888; 26: 256–265.
8. Bhatia A. B., Noble W. J. Diffraction of light by ultrasonic waves. Proc. Roy.Soc.; 1953; A220: 356–385.
9. Phariseau P. On the diffraction of light by supersonic waves. Proc. Ind. Acad. Sci.; 1956; 44A: 165–170.
10. Darwin C. G. The Theory of X-Ray Reflection. Phil.Mag. 1914; 27: 315–333.
11. Конобеевский С. Т., Макс фон Лауэ. Успехи физических наук. 1960; 72(4): 82.
Konobeevskij S. T., Maks fon Laueh. Uspekhi fizicheskih nauk. 1960; 72(4): 82.
12. Быков В. П. ЖЭТФ. 1972; 62: 505.
Bykov V. P. JETP. 1972; 62: 505.
13. Горелик В. С., Квантовая электроника. 2007; 37 (5): 409–432.
Gorelik V. S., Quantum Electron. 2007; 37 (5): 409–432.
14. John S. Phys.Rev.Lett. 1987; 58: 2486.
15. Крайский А. А., Крайский А. В. Определение параметров голографического слоя по его спектральным характеристикам. Квантовая электроника. 2016; 46 (6): 558–566.
Krajskij A. A., Krajskij A. V. Opredelenie parametrov golograficheskogo sloya po ego spektral’nym harakteristikam. Kvantovaya ehlektronika. 2016; 46 (6): 558–566.
16. Капаев В. В. Квантовая электроника. 1989; 16(11): 2271–2278.
Kapaev V. V. Kvantovaya ehlektronika. 1989; 16(11): 2271–2278.
17. Bendickson J. M., Dowling J. P. Scalora M. Physical Review E, 1996; 53: 4107.
Крайский А. А., Крайский А. В. III Всероссийская конференция по фотонике и информационной оптике. Сб. науч.тр. Москва: Изд-во МИФИ. 2014; 61–62.
18. Krajskij A. A., Krajskij A. V. III Vserossijskaya konferenciya po fotonike i informacionnoj optike. Sb. nauch.tr. Moskva: Izd-vo MIFI. 2014; 61–62.
19. Steel M. J., Martijn C. de Sterke. J. Opt. Soc. Am. B, 1995; 12(12): 2442–2452.
20. Haus J. W., Viswanathan R., Scalora M. et al. Phys. Rev.A. 1998; 57(3): 2120–2128.
21. Pezzetta D., Sibilia С., Bertolotti M., Haus J. W. et al. J. Opt. Soc. Am. B. 2001; 18(9): 1326–1333.
22. C. De Angelis, Gringoli F., Midrio M. et al. JOSA B-Optical Physics. 2001; 18(3): 348.
23. Settimi A., Severini S., Mattiucci N. et al. Phys. Rev. E. 2003; 68: 026614.
24. Hopman W. C. L., Hoekstra H. J. W. M., Dekker R. et al. Optics Express. 2007; 15: 1851.
25. Figotin A., Vitebskiy I. Magnetic Faraday rotation in lossy photonic structures. Waves in Random and Complex Media. 2006; 16(3): 293–382.
26. Крайский А. А., Крайский А. В. О свойствах окон прозрачности вблизи края запрещенной зоны одномерного фотонного кристалла. КСФ. ФИАН. 2018; 2:37-46.
Krajskij A. A., Krajskij A. V. O svojstvah okon prozrachnosti vblizi kraya zapreshchennoj zony odnomernogo fotonnogo kristalla. KSF, FIAN. 2018; 2:37–46.
27. Казанов Д. Р., Пошакинский А. В., Шубина Т. В. Замедление света резонансными фотонными кристаллами со сложной элементарной ячейкой. Письма в ЖЭТФ. 2017; 105:1.
Kazanov D. R., Poshakinskij A. V., SHubina T. V. Zamedlenie sveta rezonansnymi fotonnymi kristallami so slozhnoj ehlementarnoj yachejkoj. Pis’ma v JETP. 2017; 105:1.
28. Hopman W. C.L. Light-Flow Characterization and Manipulation in 1 and 2 Dimensional Photonic Crystals. University of Twente. Enschede. The Netherlands: Wohrmann Print Service, 2007.
29. Zhang Ch., Zhang F., Xia T., Kumar N., Hahm J.-in, Liu J., Wang Zh.L., Xu J. Low-threshold two-photon pumped ZnO nanowire lasers. Optics Express. 2009; 17(10): 7893.
30. Mehdi Veysi, Mohamed A. K. Othman, AlexanderFigotin, FilippoCapolino. Degenerate band edge laser. Physical Review. 2018; 97 B; 195107.
31. Gorelik V. S., Kudryavtseva A. D., Orlovich V. A., Tareeva M. V., Tcherniega N. V., Vodchits A. I. Stimulated Raman scattering of light in artificial opal filled by water. JRLR. 2011; 32(3): 129–138.
Горелик В. С., Козулин Р. К. Высокочувствительные сенсоры молекулярных соединений на основе глобулярных фотонных кристаллов. КСФ. ФИАН. 2012; 7: 23–29.
32. Gorelik V. S., Kozulin R. K. Vysokochuvstvitel’nye sensory molekulyarnyh soedinenij na osnove globulyarnyh fotonnyh kristallov. KSF. FIAN. 2012; 7: 23–29.
Горелик В. С. Оптические и диэлектрические свойства наноструктурированных фотонных кристаллов, заполненных сегнетоэлектриками и металлами. Физика твердого тела. 2009; 51(7):1252–1258.
33. Gorelik V. S. Opticheskie i diehlektricheskie svojstva nanostrukturirovannyh fotonnyh kristallov, zapolnennyh segnetoehlektrikami i metallami. Fizika tverdogo tela. 2009; 51(7):1252–1258.
34. Mamichev D. A., Gonchar K. A., Timoshenko V. Y. et al. J. Raman. Spectrosc. 2011; 42: 1392–1395.
35. Дьяков С. А. Исследование оптических свойств одномерных и двумерных кремниевых нано- и микроструктур. Автореферат диссертация … кандидата физико-математических наук: 01.04.05; место защиты: МГУ им. М. В. Ломоносова. Москва, 2012.
D’yakov S. A. Issledovanie opticheskih svojstv odnomernyh i dvumernyh kremnievyh nano- i mikrostruktur. Avtoreferat dissertaciya … kandidata fiziko-matematicheskih nauk: 01.04.05; mesto zashchity: MSU named by M. V. Lomonosova. Moscow; 2012.
36. Deparis O., Mouchet S. R., Su B.-L. Light harvesting in photonic crystals revisited: why do slow photons at the blue edge enhance absorption?.Phys.Chem.Chem.Phys.2015; 17: 30525.
37. Veldhuis G. J., Berends J. H., Heideman R. G., Lambeck P. V. Integrated optical Bragg-reflector used as a chemo-optical sensor. Pure and applied optics. 1998; 7: L23-L26.
38. Nunes P. S., Mortensen N. A., Kutter J. P., Mogensen K. B. Refractive Index Sensor Based on a 1D Photonic Crystal in a Microfluidic Channel Sensors. 2010; 10: 2348–2358. doi:10.3390 / s100302348.
39. Hopman W. C. L., Pottier P., Yudistira D., van Lith J., Lambeck P., De La Rue R. M., Driessen A., Hoekstra H. J. W. M., de Ridder R. M. Quasi-one-dimensional photonic crystal as a compact building-block for refractometric optical sensors. IEEE Journal Of Selected Topics In Quantum Electronics. 2005; 11: 11–16.
40. Banerjee A. Enhanced refractometric optical sensing by using one-dimensional ternary photonic crystals. Progress In Electromagnetics Research. PIER. 2009; 89, 11–22.
41. Lambrecht A., Hartwig S., Schweizer S. L. et al. Miniature infrared gas sensors using photonic crystals. Proceedings of SPIE. 2007; 6480: 64800D.
42. Jensen K. H., Alam M. N., Scherer B. et al. Slow-light enhanced light-matter interactions with applications to gas sensing. Optics Communications. 2008; 281 (21): 5335–5339.
43. Pergande D., Geppert T. M., Rhein A. V. et al. Miniature infrared gas sensors using photonic crystals. Journal of Applied Physics. 2011; 109 (8): 083117.
44. Wang B. W., Dundar M. A., Nцtzel R. et al. Photonic crystal slot nanobeam slow light waveguides for refractive index sensing. Applied Physics Letters. 2010; 97 (15): 151105.
45. Merklein M., Kabakova I. V., Buettner T. F.S. et al. Nat.Comms. 2015. DOI:10.1038 / ncomms7396.
46. Wicharn S., Buranasiri Pr., Ruttanapunt Ch. et al. App.Optics. 2013; 52(25):6090–6099.
47. Shereena J., M. Sh. Khan, A. Kh. Hafiz. Physics Letters. 2014; A 378; 1296–1302.
48. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. изд. 2-е. Москва: Изд-во "Наука"; 1963.
Landau L. D., Lifshic E. M. Kvantovaya mekhanika. izd.2 e. Moskva: Izd-vo "Nauka"; 1963.
Отзывы читателей
