eng
Выпуск #2/2018
А. Н. Андреев, П. А. Панов
Фазовые портреты периодических планарных световодов
Фазовые портреты периодических планарных световодов
Просмотры: 2888
Для решения задачи эффективного ввода излучения в волокно, особенно при его исполнении на одной подложке с интегральной схемой, важно исследовать распространение света внутри волновода. В статье предложен метод анализа поведения световых лучей в планарных световодах на основе построения фазового портрета состояния динамической системы. Фазовый портрет содержит богатую информацию о поведении световых лучей в волноводном резонаторе.
DOI: 10.22184/1993-7296.2018.70.2.192.200
DOI: 10.22184/1993-7296.2018.70.2.192.200
Теги: phase portraits photonics element base planar waveguide планарные световоды фазовый портрет элементная база фотоники
Данная работа является продолжением исследований периодических планарных световодов, начатых в работах [1,2]. Конечно, само построение индивидуальной траектории светового луча в любом световоде не представляет затруднений. Сложность представляет работа по извлечению статистических свойств траектории и переходу к описанию целиком ансамбля всех световых лучей внутри световода. Один из полезных подходов к этим задачам заключается в построении фазового портрета оптического резонатора, соответствующего периодическому планарному световоду. В качестве модельного примера используем тот же самый эквидистантный световод, который был рассмотрен в работе [3]. Мы предлагаем новую точку зрения на построение фазового портрета.
ОТ СВЕТОВОДА
К ЦИЛИНДРИЧЕСКОМУ РЕЗОНАТОРУ
Световод называется периодическим, если он совмещается с самим собой при сдвиге на некоторый ненулевой вектор . Мы принимаем, что световод имеет неограниченную протяженность. Двумя отрезками, предположим перпендикулярными вектору , вырежем из световода целый период, как это показано на рис. 1. Это и будет заготовка для нашего резонатора.
Чтобы смоделировать поведение световых лучей, будем считать, что от верхней и нижней границы резонатора отражение световых лучей происходит по закону "угол падения равен углу отражения". В то же время при "отражении" от торцевого отрезка оба элемента – и точка отражения, и направляющий вектор светового луча – переносятся на противоположный отрезок параллельно вектору . По-другому можно сказать, что мы отождествляем между собой оба торцевых отрезка и тем самым превращаем резонатор в цилиндрический.
Ясно, что существует взаимно однозначное соответствие между траекториями световых лучей внутри световода и внутри цилиндрического резонатора. В то же время, кажется, что проследить за поведением световых лучей в резонаторе ограниченного объема проще, чем в протяженном световоде.
ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА
Вся информация о траектории светового луча однозначно кодируется его последовательными точками отражения. За счет некоторой потери информации мы можем слегка упростить описание траекторий световых лучей. Именно на траектории луча будем фиксировать только точки "отражения" от торцевого отрезка и направление светового луча в этих точках.
Примем, что торцевой отрезок имеет длину, равную некоторой условной единице. Тогда координату точки "отражения", лежащую на этом отрезке, можно записать числом х, где 0 ≤ х ≤ 1. Также будем считать, что направляющий вектор светового луча является единичным, тогда его проекция на торцевой отрезок будет заключена в пределах –1 ≤ с ≤ 1. Понятно, что "отражение" светового луча от торцевого отрезка вполне характеризуется этими двумя числами x и с. Пространство с координатами х, с называется фазовым пространством резонатора. В фазовом пространстве каждая траектория изображается последовательностью точек (x1, c1), (x2, c2), ... (xn, cn), ...
Например, дальше мы увидим, что точки, соответствующие некоторым траекториям, заполняют целые кривые в фазовом пространстве, а другим траекториям в фазовом пространстве соответствуют стохастические облака. Одновременно переведя в фазовое пространство достаточно большое количество траекторий световых лучей, мы получим картину, известную под названием фазовый портрет резонатора. Она позволяет получить богатую информацию о поведении всей совокупности световых лучей внутри цилиндрического резонатора и, значит, соответствующую информацию относительно периодического световода.
ЭКВИДИСТАНТНЫЕ СВЕТОВОДЫ
Нужно сказать, что в периодических световодах могут существовать траектории, "запертые" внутри периода и, соответственно, не пересекающиеся с торцевыми отрезками. При нашем способе перенесения траекторий в фазовое пространство они просто не будут отображаться там. Однако существует целый класс световодов, где такая ситуация невозможна, – это эквидистантные световоды [1–4], которым можно дать как чисто оптическое, так и эквивалентное чисто геометрическое определение.
Начнем с оптического определения. Пусть в плоской однородной оптической среде задан начальный волновой фронт, представленный кривой C0. В обе стороны от него распространяются вторичные волновые фронты. Область, заключенная между двумя синхронными вторичными фронтами C–r и Cr, удаленными от начального на расстояние r, как раз и представляет собой эквидистантный световод (рис. 2).
В то же время, определяющее геометрическое свойство эквидистантного световода заключается в том, что перпендикуляр к одной из ограничивающих его кривых является также и перпендикуляром к другой кривой, и отрезки этих перпендикуляров, высекаемые этими кривыми, все равны между собой (в нашем случае их общая длина равна).
Как было показано в [1,3], все световые лучи, входящие в эквидистантный световод, движутся в одном направлении и для достаточно гладких световодов обязательного достигают противоположного конца. Так что в фазовом пространстве цилиндрического резонатора будут отображаться траектории практически всех световых лучей внутри соответствующего эквидистантного световода. Очевидное тривиальное исключение составляют траектории, представленные отрезками, перпендикулярными границам волновода.
ОТ ЭКВИДИСТАНТНОГО СВЕТОВОДА К ПЛАНАРНОМУ РЕЗОНАТОРУ
Опишем еще одну альтернативную процедуру перехода от световода к резонатору. Итак, рассмотрим эквидистантный планарный световод. Будем считать, что кроме периодичности он обладает еще дополнительно осевой симметрией (на рис. 2 осью симметрии является любой из двух выделенных отрезков). Понятно, что ось симметрии является общим перпендикуляром, проведенным к обеим граничным кривым световода.
Выберем две оси симметрии световода, отстоящие друг от друга на расстояние его периода, как показано, например, на рис. 2, и вырежем этими осями целый период. Вырезанная часть и будет представлять планарный резонатор, соответствующий нашему световоду. На этот раз будем считать, что отражение светового луча, идущего внутри резонатора, во всех без исключения точках происходит по стандартному закону – "угол падения равен углу отражения". Таким образом, мы получили планарный резонатор, и ясно, что существует взаимно однозначное соответствие между траекториями световых лучей внутри световода и внутри планарнорго резонатора.
ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ
ПЛАНАРНОГО РЕЗОНАТОРА
Фазовый портрет строится аналогично тому, как это было сделано для цилиндрического резонатора. На этот раз первая координата x точки отражения – это расстояние вдоль границы резонатора от некоторой заранее фиксированной точки до точки отражения. А вторая координата с – это величина проекции единичного направляющего вектора светового луча на касательную к границе в точке отражения. При этом положительное направление касательной соответствует обходу резонатора против часовой стрелки. Величина x заключена в пределах 0 ≤ x < L, где L – длина границы резонатора, а с заключено в пределах –1 ≤ с ≤ 1.
Опять в фазовом пространстве каждая траектория изображается последовательностью точек (x1, c1), (x2, c2), ... (xn, cn), ... При этом к точкам, соответствующим отражениям от границ световода, добавляются точки, отвечающие пересечениям с вертикальными отрезками – осями симметрии световода.
МОДЕЛЬНЫЙ СВЕТОВОД
Для построения фазовых портретов в качестве модельного мы выберем эквидистантный световод, предложенный в работе [3]. Средней линией этого эквидистантного световода служит периодическая кривая C0, составленная из полуокружностей единичного радиуса. Граничные линии световода C1 и C–1 удалены от нее на расстояние 1 (рис. 3). Вот как выглядит одна из возможных траекторий в таком световоде (рис. 4).
На самом деле, по внешнему виду этой траектории трудно судить о ее асимптотических свойствах, например, является ли она либо периодической, либо квазипериодической или нет. Далее мы изобразим эту траекторию в соответствующем резонаторе и в его фазовом пространстве, и тогда с легкостью определим, к какому классу она относится.
А пока с помощью выделенных на рис. 3 отрезков, являющихся осями симметрии световода, вырежем из него целый период – заготовку для соответствующих резонаторов (рис. 5). Теперь перейдем к построению фазовых портретов.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР
Оказывается, что в статистическом смысле почти каждая траектория светового луча в рассматриваемом резонаторе содержит горизонтальный отрезок. Другими словами, образы траекторий, содержащих горизонтальные отрезки, заполняют все фазовое пространство. Причем, как было указано, в условиях эквидистантности половина лучей движется слева направо, другая половина – в обратном направлении. Рассмотрим горизонтальные световые лучи, начальная точка которых лежит на левой границе резонатора (рис. 6). Лучи, начальная точка которых лежит на отрезке, обозначены красным цветом, лучи с началом на дуге окружности – синим. Тем же цветом будут обозначены образы их траекторий в фазовом пространстве. Если какая-то точка фазового пространства лежит одновременно и на траектории одного типа, и на траектории другого типа, то ее цвет будет обозначен смешением красного и синего, а именно, оттенком фиолетового – RGB-маджента.
Левый граничный отрезок будет ориентирован снизу вверх, и координата x на нем будет меняться от –1 до 0. Если траектория светового луча пересекается с левым отрезком в точке с координатой x и имеет единичный направляющий вектор , то ее проекцию на отрезок обозначим с, где –1 < с < 1. И как уже было сказано, траектория светового луча в фазовом пространстве представляется последовательностью точек:
(x1, c1), (x2, c2), ... (xn, cn), ...
В нашем численном эксперименте мы запустили 58 траекторий, идущих слева направо, их образы заполняют левую часть фазового пространства, изображенного на рис. 7. Правая часть отвечает траекториям, идущим в обратном направлении. Для них фиксируются точки пересечения x c правым граничным отрезком резонатора, ориентированным сверху вниз, причем x тут меняется от 0 до 1. Вторая координата с – это тоже проекция единичного направляющего вектора светового луча на отрезок.
Если говорить о фазовом портрете в целом, то на нем в центре выделяется остров (выделен фиолетовыми овалами), и это означает, что они являются изображениями статистически совпадающих траекторий световых лучей, обозначенных красным и синим цветами (рис. 6). На самом деле начальные лучи таких двух смешивающихся в фазовом пространстве траекторий проходят вблизи горизонтальной оси, делящей площадь резонатора пополам, и равноудалены от нее. Этот остров окружен восемью спутниками чистых красного и синего цветов. И вся эта центральная часть окружена еще стохастическим облаком, занимающим большую часть фазового пространства. Можно выделить еще несколько более мелких фрагментов, но основное перечислено.
Теперь, когда у нас имеются два описания траекторий световых лучей – в пространстве резонатора и в фазовом пространстве, следует зафиксировать чисто визуальную связь между этими описаниями, создать своего рода иллюстрированный словарь (см. табл.). В таблице в первом столбце указана высота выхода начального горизонтального луча с левой границы резонатора. Она измеряется относительно горизонтальной оси резонатора. Во втором столбце в фазовом пространстве изображены не только две траектории, начинающиеся на левой границе, но еще и две траектории, выходящие из правой границы на той же самой высоте h.
Из таблицы видно, что до значения высоты h порядка 0,5 красные и синие траектории статистически совпадают, в фазовом пространстве они представлены фиолетовым цветом. При этом наблюдаются как квазипериодические траектории (в таблице при h = ±0,24 и h= ±0,37), так и устойчивые периодические (в районе h = ±0,35 и h = ±0,46). Для каждой высоты вблизи значенияй h = ±0,525 мы наблюдаем две различные траектории (на фазовой плоскости они раскрашены в чистые красный и синие цвета). Траектория такого типа как раз изображена на рис. 4. При больших высотах наблюдаются стохастические траектории, заполняющие большую часть фазового пространства.
Мы видим, что фазовый портрет содержит богатую информацию о поведении световых лучей в резонаторе и, значит, в соответствующем периодическом световоде. В то же время при построении фазового портрета циклического резонатора происходит некоторая потеря информации о поведении траектории светового луча, поскольку в фазовом пространстве фиксируются только точки пересечения с граничными отрезками, но не точки физического отражения.
ПЛАНАРНЫЙ РЕЗОНАТОР
За счет перехода к планарному резонатору можно избежать этой потери. Пространство этого резонатора будет иметь тот же самый вид, что на рис. 5, а отражение происходить по закону "угол падения равен углу отражения" уже от всех точек его границы, в том числе и от граничных отрезков. В качестве начальной точки на границе резонатора выберем его левый нижний угол, положительным направлением обхода границы будем считать обход против часовой стрелки. Первой координатой x точки отражения будем считать расстояние вдоль границы от начальной точки до самой точки отражения, при этом 0 ≤ x ≤ 2 + 2 π. Второй координатой с будет служить проекция единичного направляющего вектора отраженного луча на границу резонатора, –1 < с < 1.
В компьютерной визуализации (рис. 8) были запущены 58 горизонтальных световых лучей, идущих слева направо, и 58 таких же лучей, идущих в противоположном направлении. Неудивительно, что фазовый портрет планарного резонатора в качестве фрагмента содержит фазовый портрет цилиндрического резонатора. Точнее, отражениям от граничных отрезков резонатора отвечает часть фазового пространства, расположенная над интервалами и x ∈ ( 1 + 2 π, 2 + 2 π ). Но если сравнить с рис. 7, то это как раз и будут две половины фазового портрета цилиндрического резонатора.
ЛИТЕРАТУРА
1. Панов. П. А. Прохождение света через оптические волноводы и фазовые портреты некоторых резонаторов. Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации: распознавание. – 2013, Курск: Изд-во ЮЗГУ, 2013. с. 174–175.
2. Андреев А.Н., Панов. П. А. Оптические резонаторы и планарные световоды, фазовые портреты и устойчивость. – Изв. ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2016, № 4, с. 127–134.
3. Rourke J. O. Light rays bouncing in twisted tubes, 2011. Эл.ресурс: http://mathoverflow.net / questions / 70421 /.
4. Horvat M., Prosen T. Uni-directional transport properties of a serpent billiard. – Journal of Physics A: Mathematical and General, 2004, № 37, p.3133–3146.
ОТ СВЕТОВОДА
К ЦИЛИНДРИЧЕСКОМУ РЕЗОНАТОРУ
Световод называется периодическим, если он совмещается с самим собой при сдвиге на некоторый ненулевой вектор . Мы принимаем, что световод имеет неограниченную протяженность. Двумя отрезками, предположим перпендикулярными вектору , вырежем из световода целый период, как это показано на рис. 1. Это и будет заготовка для нашего резонатора.
Чтобы смоделировать поведение световых лучей, будем считать, что от верхней и нижней границы резонатора отражение световых лучей происходит по закону "угол падения равен углу отражения". В то же время при "отражении" от торцевого отрезка оба элемента – и точка отражения, и направляющий вектор светового луча – переносятся на противоположный отрезок параллельно вектору . По-другому можно сказать, что мы отождествляем между собой оба торцевых отрезка и тем самым превращаем резонатор в цилиндрический.
Ясно, что существует взаимно однозначное соответствие между траекториями световых лучей внутри световода и внутри цилиндрического резонатора. В то же время, кажется, что проследить за поведением световых лучей в резонаторе ограниченного объема проще, чем в протяженном световоде.
ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА
Вся информация о траектории светового луча однозначно кодируется его последовательными точками отражения. За счет некоторой потери информации мы можем слегка упростить описание траекторий световых лучей. Именно на траектории луча будем фиксировать только точки "отражения" от торцевого отрезка и направление светового луча в этих точках.
Примем, что торцевой отрезок имеет длину, равную некоторой условной единице. Тогда координату точки "отражения", лежащую на этом отрезке, можно записать числом х, где 0 ≤ х ≤ 1. Также будем считать, что направляющий вектор светового луча является единичным, тогда его проекция на торцевой отрезок будет заключена в пределах –1 ≤ с ≤ 1. Понятно, что "отражение" светового луча от торцевого отрезка вполне характеризуется этими двумя числами x и с. Пространство с координатами х, с называется фазовым пространством резонатора. В фазовом пространстве каждая траектория изображается последовательностью точек (x1, c1), (x2, c2), ... (xn, cn), ...
Например, дальше мы увидим, что точки, соответствующие некоторым траекториям, заполняют целые кривые в фазовом пространстве, а другим траекториям в фазовом пространстве соответствуют стохастические облака. Одновременно переведя в фазовое пространство достаточно большое количество траекторий световых лучей, мы получим картину, известную под названием фазовый портрет резонатора. Она позволяет получить богатую информацию о поведении всей совокупности световых лучей внутри цилиндрического резонатора и, значит, соответствующую информацию относительно периодического световода.
ЭКВИДИСТАНТНЫЕ СВЕТОВОДЫ
Нужно сказать, что в периодических световодах могут существовать траектории, "запертые" внутри периода и, соответственно, не пересекающиеся с торцевыми отрезками. При нашем способе перенесения траекторий в фазовое пространство они просто не будут отображаться там. Однако существует целый класс световодов, где такая ситуация невозможна, – это эквидистантные световоды [1–4], которым можно дать как чисто оптическое, так и эквивалентное чисто геометрическое определение.
Начнем с оптического определения. Пусть в плоской однородной оптической среде задан начальный волновой фронт, представленный кривой C0. В обе стороны от него распространяются вторичные волновые фронты. Область, заключенная между двумя синхронными вторичными фронтами C–r и Cr, удаленными от начального на расстояние r, как раз и представляет собой эквидистантный световод (рис. 2).
В то же время, определяющее геометрическое свойство эквидистантного световода заключается в том, что перпендикуляр к одной из ограничивающих его кривых является также и перпендикуляром к другой кривой, и отрезки этих перпендикуляров, высекаемые этими кривыми, все равны между собой (в нашем случае их общая длина равна).
Как было показано в [1,3], все световые лучи, входящие в эквидистантный световод, движутся в одном направлении и для достаточно гладких световодов обязательного достигают противоположного конца. Так что в фазовом пространстве цилиндрического резонатора будут отображаться траектории практически всех световых лучей внутри соответствующего эквидистантного световода. Очевидное тривиальное исключение составляют траектории, представленные отрезками, перпендикулярными границам волновода.
ОТ ЭКВИДИСТАНТНОГО СВЕТОВОДА К ПЛАНАРНОМУ РЕЗОНАТОРУ
Опишем еще одну альтернативную процедуру перехода от световода к резонатору. Итак, рассмотрим эквидистантный планарный световод. Будем считать, что кроме периодичности он обладает еще дополнительно осевой симметрией (на рис. 2 осью симметрии является любой из двух выделенных отрезков). Понятно, что ось симметрии является общим перпендикуляром, проведенным к обеим граничным кривым световода.
Выберем две оси симметрии световода, отстоящие друг от друга на расстояние его периода, как показано, например, на рис. 2, и вырежем этими осями целый период. Вырезанная часть и будет представлять планарный резонатор, соответствующий нашему световоду. На этот раз будем считать, что отражение светового луча, идущего внутри резонатора, во всех без исключения точках происходит по стандартному закону – "угол падения равен углу отражения". Таким образом, мы получили планарный резонатор, и ясно, что существует взаимно однозначное соответствие между траекториями световых лучей внутри световода и внутри планарнорго резонатора.
ФАЗОВЫЙ ПОРТРЕТ
ПЛАНАРНОГО РЕЗОНАТОРА
Фазовый портрет строится аналогично тому, как это было сделано для цилиндрического резонатора. На этот раз первая координата x точки отражения – это расстояние вдоль границы резонатора от некоторой заранее фиксированной точки до точки отражения. А вторая координата с – это величина проекции единичного направляющего вектора светового луча на касательную к границе в точке отражения. При этом положительное направление касательной соответствует обходу резонатора против часовой стрелки. Величина x заключена в пределах 0 ≤ x < L, где L – длина границы резонатора, а с заключено в пределах –1 ≤ с ≤ 1.
Опять в фазовом пространстве каждая траектория изображается последовательностью точек (x1, c1), (x2, c2), ... (xn, cn), ... При этом к точкам, соответствующим отражениям от границ световода, добавляются точки, отвечающие пересечениям с вертикальными отрезками – осями симметрии световода.
МОДЕЛЬНЫЙ СВЕТОВОД
Для построения фазовых портретов в качестве модельного мы выберем эквидистантный световод, предложенный в работе [3]. Средней линией этого эквидистантного световода служит периодическая кривая C0, составленная из полуокружностей единичного радиуса. Граничные линии световода C1 и C–1 удалены от нее на расстояние 1 (рис. 3). Вот как выглядит одна из возможных траекторий в таком световоде (рис. 4).
На самом деле, по внешнему виду этой траектории трудно судить о ее асимптотических свойствах, например, является ли она либо периодической, либо квазипериодической или нет. Далее мы изобразим эту траекторию в соответствующем резонаторе и в его фазовом пространстве, и тогда с легкостью определим, к какому классу она относится.
А пока с помощью выделенных на рис. 3 отрезков, являющихся осями симметрии световода, вырежем из него целый период – заготовку для соответствующих резонаторов (рис. 5). Теперь перейдем к построению фазовых портретов.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАТОР
Оказывается, что в статистическом смысле почти каждая траектория светового луча в рассматриваемом резонаторе содержит горизонтальный отрезок. Другими словами, образы траекторий, содержащих горизонтальные отрезки, заполняют все фазовое пространство. Причем, как было указано, в условиях эквидистантности половина лучей движется слева направо, другая половина – в обратном направлении. Рассмотрим горизонтальные световые лучи, начальная точка которых лежит на левой границе резонатора (рис. 6). Лучи, начальная точка которых лежит на отрезке, обозначены красным цветом, лучи с началом на дуге окружности – синим. Тем же цветом будут обозначены образы их траекторий в фазовом пространстве. Если какая-то точка фазового пространства лежит одновременно и на траектории одного типа, и на траектории другого типа, то ее цвет будет обозначен смешением красного и синего, а именно, оттенком фиолетового – RGB-маджента.
Левый граничный отрезок будет ориентирован снизу вверх, и координата x на нем будет меняться от –1 до 0. Если траектория светового луча пересекается с левым отрезком в точке с координатой x и имеет единичный направляющий вектор , то ее проекцию на отрезок обозначим с, где –1 < с < 1. И как уже было сказано, траектория светового луча в фазовом пространстве представляется последовательностью точек:
(x1, c1), (x2, c2), ... (xn, cn), ...
В нашем численном эксперименте мы запустили 58 траекторий, идущих слева направо, их образы заполняют левую часть фазового пространства, изображенного на рис. 7. Правая часть отвечает траекториям, идущим в обратном направлении. Для них фиксируются точки пересечения x c правым граничным отрезком резонатора, ориентированным сверху вниз, причем x тут меняется от 0 до 1. Вторая координата с – это тоже проекция единичного направляющего вектора светового луча на отрезок.
Если говорить о фазовом портрете в целом, то на нем в центре выделяется остров (выделен фиолетовыми овалами), и это означает, что они являются изображениями статистически совпадающих траекторий световых лучей, обозначенных красным и синим цветами (рис. 6). На самом деле начальные лучи таких двух смешивающихся в фазовом пространстве траекторий проходят вблизи горизонтальной оси, делящей площадь резонатора пополам, и равноудалены от нее. Этот остров окружен восемью спутниками чистых красного и синего цветов. И вся эта центральная часть окружена еще стохастическим облаком, занимающим большую часть фазового пространства. Можно выделить еще несколько более мелких фрагментов, но основное перечислено.
Теперь, когда у нас имеются два описания траекторий световых лучей – в пространстве резонатора и в фазовом пространстве, следует зафиксировать чисто визуальную связь между этими описаниями, создать своего рода иллюстрированный словарь (см. табл.). В таблице в первом столбце указана высота выхода начального горизонтального луча с левой границы резонатора. Она измеряется относительно горизонтальной оси резонатора. Во втором столбце в фазовом пространстве изображены не только две траектории, начинающиеся на левой границе, но еще и две траектории, выходящие из правой границы на той же самой высоте h.
Из таблицы видно, что до значения высоты h порядка 0,5 красные и синие траектории статистически совпадают, в фазовом пространстве они представлены фиолетовым цветом. При этом наблюдаются как квазипериодические траектории (в таблице при h = ±0,24 и h= ±0,37), так и устойчивые периодические (в районе h = ±0,35 и h = ±0,46). Для каждой высоты вблизи значенияй h = ±0,525 мы наблюдаем две различные траектории (на фазовой плоскости они раскрашены в чистые красный и синие цвета). Траектория такого типа как раз изображена на рис. 4. При больших высотах наблюдаются стохастические траектории, заполняющие большую часть фазового пространства.
Мы видим, что фазовый портрет содержит богатую информацию о поведении световых лучей в резонаторе и, значит, в соответствующем периодическом световоде. В то же время при построении фазового портрета циклического резонатора происходит некоторая потеря информации о поведении траектории светового луча, поскольку в фазовом пространстве фиксируются только точки пересечения с граничными отрезками, но не точки физического отражения.
ПЛАНАРНЫЙ РЕЗОНАТОР
За счет перехода к планарному резонатору можно избежать этой потери. Пространство этого резонатора будет иметь тот же самый вид, что на рис. 5, а отражение происходить по закону "угол падения равен углу отражения" уже от всех точек его границы, в том числе и от граничных отрезков. В качестве начальной точки на границе резонатора выберем его левый нижний угол, положительным направлением обхода границы будем считать обход против часовой стрелки. Первой координатой x точки отражения будем считать расстояние вдоль границы от начальной точки до самой точки отражения, при этом 0 ≤ x ≤ 2 + 2 π. Второй координатой с будет служить проекция единичного направляющего вектора отраженного луча на границу резонатора, –1 < с < 1.
В компьютерной визуализации (рис. 8) были запущены 58 горизонтальных световых лучей, идущих слева направо, и 58 таких же лучей, идущих в противоположном направлении. Неудивительно, что фазовый портрет планарного резонатора в качестве фрагмента содержит фазовый портрет цилиндрического резонатора. Точнее, отражениям от граничных отрезков резонатора отвечает часть фазового пространства, расположенная над интервалами и x ∈ ( 1 + 2 π, 2 + 2 π ). Но если сравнить с рис. 7, то это как раз и будут две половины фазового портрета цилиндрического резонатора.
ЛИТЕРАТУРА
1. Панов. П. А. Прохождение света через оптические волноводы и фазовые портреты некоторых резонаторов. Оптико-электронные приборы и устройства в системах распознавания образов, обработки изображений и символьной информации: распознавание. – 2013, Курск: Изд-во ЮЗГУ, 2013. с. 174–175.
2. Андреев А.Н., Панов. П. А. Оптические резонаторы и планарные световоды, фазовые портреты и устойчивость. – Изв. ВУЗов. Геодезия и аэрофотосъемка, 2016, № 4, с. 127–134.
3. Rourke J. O. Light rays bouncing in twisted tubes, 2011. Эл.ресурс: http://mathoverflow.net / questions / 70421 /.
4. Horvat M., Prosen T. Uni-directional transport properties of a serpent billiard. – Journal of Physics A: Mathematical and General, 2004, № 37, p.3133–3146.
Отзывы читателей
