eng
Рассматривается прохождение гауссова импульса через двумерный фотонный кристалл. Спектральный состав кристалла соответствует как разрешенным, так и запрещенным для прохождения излучения диапазонам частот. Показана возможность локализации излучения внутри фотонного кристалла конечных размеров.
DOI:10.22184/1993-7296.2017.61.1.102.107
DOI:10.22184/1993-7296.2017.61.1.102.107
Фотонные кристаллы (ФК) – активно исследуемый в последние годы класс искусственных объектов, представляющих собой периодические структуры с характерным масштабом изменения электрофизических параметров, сопоставимым с длиной волны излучения. Это обусловливает наличие зонной структуры спектра пропускания ФК, включающей и запрещенные для прохождения излучения диапазоны частот, в пределах которых полностью подавляется распространение излучений в кристалле, что, в частности, делает возможным управление скоростью света в нем [1]. Дисперсионные свойства ФК приводят к необычному характеру отражений и преломлений на границах таких структур даже для гармонических электромагнитных колебаний [2, 3]. Еще более интересные эффекты следует ожидать от взаимодействия с такими объектами импульсных излучений. Проиллюстрируем сказанное, рассмотрев следующую задачу.
На границу двумерно-периодического диэлектрического кристалла (рис.1), образованного цилиндрическими элементами кругового поперечного сечения с диэлектрической проницаемостью, равной 13 (арсенид галлия), падает плоская электромагнитная волна, сформированная в виде гауссова импульса:
u ( t ) = exp ( –( t – t0 )2 / a2 ) cos ( ω t – k r ),
где t0 – временная подвижка импульса относительно нулевого отсчета, а – ширина импульса, ω – циклическая частота, k – волновое число в межэлементном пространстве, r – координата вдоль направления распространения импульса. Рассматривается E – поляризация излучения.
Положим, что период ФК составляет 1 мм, радиус элементов – 0,15 мм. Для этих параметров FDTD-методом (метод конечных разностей во временной области) выполнен расчет уровня поля за ФК (рис.2), продемонстрировавший наличие одной полной запрещенной зоны (в плоскости, перпендикулярной осям элементов) в спектре собственных состояний ФК, располагающейся в диапазоне 100–140 ГГц.
Выясним особенности прохождения через рассматриваемый ФК импульсного излучения, спектральный состав которого соответствует различным участкам полученной частотной характеристики. Для этого используем гауссов импульс со следующими параметрами: t0 = 25 пс и a = 10 пс. При такой длительности сигнала ширина его спектра по уровню е–1/2 от максимального составляет 140 ГГц. Частоту колебаний, формирующих импульс, положим равной 110 ГГц, т. е. соответствующей запрещенной зоне.
На рис.3 приведены результаты моделирования, полученные за пределами ФК в точках 1 и 2 (см. рис.1). Данные с облучаемой стороны структуры легко интерпретируемы. Поскольку существенная часть спектра сигнала приходится на запрещенную полосу частот, наблюдается одиночный отраженный сигнал значительной амплитуды и длительности, близкой к длительности падающего на ФК импульса. Это говорит о том, что излучение в ФК проникает незначительно, испытывая отражение практически на его границе. Поведение временной зависимости, полученной с другой стороны кристалла, выглядит не столь очевидным. Прошедший сигнал имеет малую амплитуду и достигает точки наблюдения в момент времени, соответствующий скорости его распространения со скоростью света в свободном пространстве. Однако из временной диаграммы следует, что через 100 пс до точки наблюдения доходят только низкочастотные компоненты исходного излучения, соответствующие разрешенной зоне ФК, а основной прошедший сигнал начинает формироваться только в районе 250 пс. Он представляет собой последовательность "колоколообразных" импульсов, имеющую экспоненциальную огибающую. В целом эта картина напоминает биения близких по частоте гармонических процессов, затухающие во времени.
Для уточнения физической картины взаимодействия импульса с ФК рассмотрим аналогичные временные диаграммы, но полученные уже в точках 3 и 4 (см. рис.1a, b), т. е. в структуре непосредственно вблизи ее границ.
Основное, что следует из этих зависимостей – это совпадение формы колебаний за пределами ФК и внутри него, но существенное различие в амплитудных характеристиках. Так, при выходе из ФК амплитуда поля в максимуме сигнала внутри структуры в 5 раз превышает соответствующий уровень за ее пределами. Это означает, что кристалл сильно рассогласован с окружающим пространством, а следовательно, волна, вошедшая в структуру, эффективно отражается ее границами и локализуется в ней в течение продолжительного времени. При этом пространственно ограниченный ФК представляет собой своеобразный резонатор Фабри–Перо. Кроме того, сопоставляя представленные временные зависимости, видно, что при движении излучения, например, в обратном направлении по ФК его амплитуда изменяется весьма незначительно (отметки 540 пс на рис.4а и 295 пс на рис.4b). Это нехарактерно для поведения волновых процессов, частота которых строго укладывается в границы запрещенной зоны ФК, – как известно, в этом случае наблюдается экспоненциальное убывание поля по мере прохождения через кристалл, физически связанное с брэгговским отражением волн. В рассматриваемой ситуации такое ослабление также происходит, но только при проникновении импульса в ФК, а затем уровень излучения уже не убывает экспоненциально, а лишь медленно уменьшается за счет вытекания энергии через границы. Важно отметить, что близкие амплитудные характеристики сигналов будут наблюдаться как в менее, так и в более протяженных структурах.
В заключение отметим следующее. Время прохождения импульса через ФК, определяемое по моментам, в которые наблюдался максимальный уровень излучения вблизи границ, либо по появлению сигнала, отраженного одной из граней кристалла и вышедшего через другую грань, на соответствующих временных диаграммах значительно превышает время, которое требуется на прохождение таких же дистанций волне в свободном пространстве. Это позволяет, в принципе, говорить об уменьшении групповой скорости излучения, ранее подробно рассматривавшемся в ФК с линейными дефектами [4]. При этом неверно в данном случае будет говорить о замедлении скорости прохождения сигнала через ФК, рассматривая его как некоторую среду с эффективным показателем преломления, отличающимся от соответствующей характеристики окружающего пространства [5]. Во-первых, выше показано, что отдельные составляющие сигнала движутся со скоростью света в пустоте. Во-вторых, для спектральных составляющих сигнала, соответствующих запрещенной зоне, понятие групповой скорости вообще не имеет смысла (или следует говорить об ее близости к нулю), поскольку как такового распространения излучения в ФК в этом диапазоне частот не происходит. Поэтому некорректно в нашем случае трактовать результаты моделирования и как уменьшение скорости всего волнового пакета, которым является, по существу, гауссов импульс, поскольку рассматривается достаточно широкополосный сигнал, лишь часть спектра которого укладывается в границы запрещенной зоны. На наш взгляд, вернее наблюдаемые результаты охарактеризовать как локализацию гауссова импульса с частотой возбуждения, соответствующей полной запрещенной зоне, в пространственно ограниченном ФК.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 15-47-04315.
ЛИТЕРАТУРА
1. Sakoda K. Optical Properties of Photonic Crystals. – Berlin, Springer, 2005.
2. Simovski C., Belov P., Atrashchenko A., Kivshar Y. Wire metamaterials: physics and applications. – Advanced materials, 2012, v.24, p.4229.
3. Vetluzhskij A. Ju. Jeffektivnye jelektrofizicheskie svojstva metallicheskih jelektromagnitnyh kristallov. – Zhurnal radiojelektroniki, 2015, № 1, (URL: http://jre.cplire.ru/jre/jan15/ index.html).
4. Ветлужский А. Ю. Эффективные электрофизические свойства металлических электромагнитных кристаллов. – Журнал радиоэлектроники, 2015, № 1.
5. Soljacic M., Joannopoulos J. Enhancement of nonlinear effects using photonic crystals. – Nature materials, 2004, v.3, p.211.
На границу двумерно-периодического диэлектрического кристалла (рис.1), образованного цилиндрическими элементами кругового поперечного сечения с диэлектрической проницаемостью, равной 13 (арсенид галлия), падает плоская электромагнитная волна, сформированная в виде гауссова импульса:
u ( t ) = exp ( –( t – t0 )2 / a2 ) cos ( ω t – k r ),
где t0 – временная подвижка импульса относительно нулевого отсчета, а – ширина импульса, ω – циклическая частота, k – волновое число в межэлементном пространстве, r – координата вдоль направления распространения импульса. Рассматривается E – поляризация излучения.
Положим, что период ФК составляет 1 мм, радиус элементов – 0,15 мм. Для этих параметров FDTD-методом (метод конечных разностей во временной области) выполнен расчет уровня поля за ФК (рис.2), продемонстрировавший наличие одной полной запрещенной зоны (в плоскости, перпендикулярной осям элементов) в спектре собственных состояний ФК, располагающейся в диапазоне 100–140 ГГц.
Выясним особенности прохождения через рассматриваемый ФК импульсного излучения, спектральный состав которого соответствует различным участкам полученной частотной характеристики. Для этого используем гауссов импульс со следующими параметрами: t0 = 25 пс и a = 10 пс. При такой длительности сигнала ширина его спектра по уровню е–1/2 от максимального составляет 140 ГГц. Частоту колебаний, формирующих импульс, положим равной 110 ГГц, т. е. соответствующей запрещенной зоне.
На рис.3 приведены результаты моделирования, полученные за пределами ФК в точках 1 и 2 (см. рис.1). Данные с облучаемой стороны структуры легко интерпретируемы. Поскольку существенная часть спектра сигнала приходится на запрещенную полосу частот, наблюдается одиночный отраженный сигнал значительной амплитуды и длительности, близкой к длительности падающего на ФК импульса. Это говорит о том, что излучение в ФК проникает незначительно, испытывая отражение практически на его границе. Поведение временной зависимости, полученной с другой стороны кристалла, выглядит не столь очевидным. Прошедший сигнал имеет малую амплитуду и достигает точки наблюдения в момент времени, соответствующий скорости его распространения со скоростью света в свободном пространстве. Однако из временной диаграммы следует, что через 100 пс до точки наблюдения доходят только низкочастотные компоненты исходного излучения, соответствующие разрешенной зоне ФК, а основной прошедший сигнал начинает формироваться только в районе 250 пс. Он представляет собой последовательность "колоколообразных" импульсов, имеющую экспоненциальную огибающую. В целом эта картина напоминает биения близких по частоте гармонических процессов, затухающие во времени.
Для уточнения физической картины взаимодействия импульса с ФК рассмотрим аналогичные временные диаграммы, но полученные уже в точках 3 и 4 (см. рис.1a, b), т. е. в структуре непосредственно вблизи ее границ.
Основное, что следует из этих зависимостей – это совпадение формы колебаний за пределами ФК и внутри него, но существенное различие в амплитудных характеристиках. Так, при выходе из ФК амплитуда поля в максимуме сигнала внутри структуры в 5 раз превышает соответствующий уровень за ее пределами. Это означает, что кристалл сильно рассогласован с окружающим пространством, а следовательно, волна, вошедшая в структуру, эффективно отражается ее границами и локализуется в ней в течение продолжительного времени. При этом пространственно ограниченный ФК представляет собой своеобразный резонатор Фабри–Перо. Кроме того, сопоставляя представленные временные зависимости, видно, что при движении излучения, например, в обратном направлении по ФК его амплитуда изменяется весьма незначительно (отметки 540 пс на рис.4а и 295 пс на рис.4b). Это нехарактерно для поведения волновых процессов, частота которых строго укладывается в границы запрещенной зоны ФК, – как известно, в этом случае наблюдается экспоненциальное убывание поля по мере прохождения через кристалл, физически связанное с брэгговским отражением волн. В рассматриваемой ситуации такое ослабление также происходит, но только при проникновении импульса в ФК, а затем уровень излучения уже не убывает экспоненциально, а лишь медленно уменьшается за счет вытекания энергии через границы. Важно отметить, что близкие амплитудные характеристики сигналов будут наблюдаться как в менее, так и в более протяженных структурах.
В заключение отметим следующее. Время прохождения импульса через ФК, определяемое по моментам, в которые наблюдался максимальный уровень излучения вблизи границ, либо по появлению сигнала, отраженного одной из граней кристалла и вышедшего через другую грань, на соответствующих временных диаграммах значительно превышает время, которое требуется на прохождение таких же дистанций волне в свободном пространстве. Это позволяет, в принципе, говорить об уменьшении групповой скорости излучения, ранее подробно рассматривавшемся в ФК с линейными дефектами [4]. При этом неверно в данном случае будет говорить о замедлении скорости прохождения сигнала через ФК, рассматривая его как некоторую среду с эффективным показателем преломления, отличающимся от соответствующей характеристики окружающего пространства [5]. Во-первых, выше показано, что отдельные составляющие сигнала движутся со скоростью света в пустоте. Во-вторых, для спектральных составляющих сигнала, соответствующих запрещенной зоне, понятие групповой скорости вообще не имеет смысла (или следует говорить об ее близости к нулю), поскольку как такового распространения излучения в ФК в этом диапазоне частот не происходит. Поэтому некорректно в нашем случае трактовать результаты моделирования и как уменьшение скорости всего волнового пакета, которым является, по существу, гауссов импульс, поскольку рассматривается достаточно широкополосный сигнал, лишь часть спектра которого укладывается в границы запрещенной зоны. На наш взгляд, вернее наблюдаемые результаты охарактеризовать как локализацию гауссова импульса с частотой возбуждения, соответствующей полной запрещенной зоне, в пространственно ограниченном ФК.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 15-47-04315.
ЛИТЕРАТУРА
1. Sakoda K. Optical Properties of Photonic Crystals. – Berlin, Springer, 2005.
2. Simovski C., Belov P., Atrashchenko A., Kivshar Y. Wire metamaterials: physics and applications. – Advanced materials, 2012, v.24, p.4229.
3. Vetluzhskij A. Ju. Jeffektivnye jelektrofizicheskie svojstva metallicheskih jelektromagnitnyh kristallov. – Zhurnal radiojelektroniki, 2015, № 1, (URL: http://jre.cplire.ru/jre/jan15/ index.html).
4. Ветлужский А. Ю. Эффективные электрофизические свойства металлических электромагнитных кристаллов. – Журнал радиоэлектроники, 2015, № 1.
5. Soljacic M., Joannopoulos J. Enhancement of nonlinear effects using photonic crystals. – Nature materials, 2004, v.3, p.211.
Отзывы читателей
