eng
Выпуск #2/2013
В. Привалов, В. Шеманин
Уравнение лазерного зондирования для реального аэрозольного лидара
Уравнение лазерного зондирования для реального аэрозольного лидара
Просмотры: 3692
При дистанционном зондировании газовых молекул и аэрозоля в атмосфере используют лидарное уравнение для бесконечно узкой линии генерации лазера. Реальные же лазеры генерируют излучения на длине волны конечной ширины. На расстояниях зондирования от 2 до 5 км увеличение ширины линии генерации лазера дает уменьшение мощности упругого рассеяния назад. Это подтверждают полученные результаты двух вариантов решения лидарного уравнения для упругого однократного рассеяния.
Уравнение лазерного зондирования для рассеяния Ми аэрозольными частицами в направлении 180° было рассмотрено в [1, 2] для бесконечно узкой линии генерации лазера. Однако реальные лазеры являются источниками излучения линии конечной ширины. Авторами [3] был выполнен учет конечной ширины линии излучения в лидарах дифференциального поглощения и рассеяния.
Целью настоящей работы является учет ширины линии генерации лазера в уравнении лазерного зондирования для моностатического аэрозольного лидара. Обобщенная схема такого аэрозольного лидара представлена на рис. 1. Оптические оси излучателя (лазера) и приемного телескопа направлены вдоль оси Z. Обычно диаграммы направленности излучателя θL и приемного телескопа θT малы ( θL ~ θT << 1 ~ 10-4 ... 10-3 ), поэтому будем считать, что их мгновенный диаметр будет определяться как dL ~ θL ∙ z. Для телесных углов, определяющих расходимость зондирующего лазерного излучения ΩL = πθL2 и поле зрения приемного телескопа ΩT = πθT2 , справедливо соотношение ΩL < ΩT < 1 .
Передающую систему лидара будем характеризовать мощностью посылаемого в атмосферу лазерного излучения P0, длительностью импульса лазера , а линию генерации лазера будем считать Гауссовой с максимумом на частоте и полушириной . Тогда мощность лазерного излучения в соответствии с [4] можно представить в виде
. (1)
Для Гауссовой формы линии генерации выражение (1) для мощности можно переписать в виде
, (2)
где обозначена функция
. (3)
Площадь приемной апертуры телескопа обозначим S0. Оптические характеристики атмосферы на трассе зондирования z зададим индикатрисой рассеяния , коэффициентом рассеяния и коэффициентом ослабления .
Пусть в момент времени t = 0 в атмосферу в заданном направлении z лазер посылает импульс длительностью . Считая распределение интенсивности по поперечному сечению лазерного луча равномерным, интенсивность излучения, рассеянного в направлении 180 град объемом атмосферы V на частоте в интервале частот и находящимся на расстоянии z >>, можно записать, следуя [5], в виде
, (4)
где d, d – интенсивности падающего и рассеянного излучения на частоте ν в интервале частот , а в индикатрисе рассеяния означает, что рассматривается рассеяние назад для углов . На вход приемного телескопа в любой момент времени t приходит излучение из рассеивающего объема V, ограниченного диаграммой направленности излучателя и длительностью зондирующего импульса, причем освещаемая площадь или поперечное сечение лазерного луча на расстоянии z будет определяться произведением ΩLz2 = πθL2z2.
Интенсивность падающего на объем V лазерного излучения на частоте ν в интервале частот равна
, (5)
где T(ν,z) – пропускание или прозрачность на частоте участка трассы от лидара до исследуемого объема, равное, согласно методике [6]
. (6)
Мощность рассеянного назад излучения на частоте в интервале , поступающего на фотоприемник лидара, в общем случае определяется выражением, приведенном в [5]:
, (7)
где – спектральный коэффициент пропускания приемной системы лидара [2, 5] или его аппаратная функция, – коэффициент обратного рассеяния [3] и G(z) – геометрическая функция лидара [5] или геометрический фактор [1, 6]. Эта функция полностью определяется параметрами оптической схемы лидара и по сути количественно характеризует степень виньетирования потока рассеянного назад излучения, поступающего на фотоприемник из рассеивающего объема атмосферы с расстояния z [5]. Согласно [5], геометрическая функция лежит в пределах 0 < G(z) < 1 .
Подставляя в выражение (7) интенсивность из (5), получим выражение, аналогичное лидарному уравнению в [5]
.
(8)
Используя соотношение для индикатрисы рассеяния из [2] в виде
, (9)
перепишем выражение (8) в виде
. (10)
Интегрируя выражение (10) по всей ширине линии генерации от () до () и подставляя в него формулы (2) и (6), окончательно получим уравнения лазерного зондирования для рассеяния Ми в направлении назад для линии генерации лазера конечной полуширины в виде
(11)
Рассмотрим решение уравнения (11) при следующих предположениях.
Будем считать, что длина волны зондирующего излучения такова, что поглощение молекулами атмосферных газов пренебрежимо мало по сравнению с рассеянием [5]. Кроме того, введем в соответствии с [9] лидарное отношение в виде
, (12),
которое также является функцией частоты лазерного излучения и расстояния зондирования. [8] Перепишем уравнение (5), используя выражение для лидарного отношения (12), в виде
(13)
где обозначена калибровочная константа лидара
.
Аппроксимируем аппаратную функцию Гауссовой кривой с единичной амплитудой вида
. (14)
Учитывая, что и считая и , т.е. практически не зависящими от частоты в исследуемом диапазоне 2, а также обозначая = x, перепишем уравнение (13) в виде
(15)
Преобразуем две последние экспоненты в (15) и обозначим . Первый интеграл по r в приближении однородной трассы заменим произведением . Тогда из уравнения (15), вводя так называемую лидарную S-функцию вида [9], получим
. (16)
Последний интеграл в (16) сведем к табличному [7] и в итоге получаем лидарное уравнение для однократного упругого рассеяния, аналогичное [9], в виде
(17)
Сделаем численные оценки для значений полуширины в диапазоне 1 – 4 ГГц, в предположении, что ширина аппаратной функции на порядок больше, чем ширина линии генерации лазера. Результаты численного решения для функции LS = S ( z ) / z2 по уравнению (17) для случая однократного рассеяния и однородной атмосферы представлены на рис. 2.
Максимальное различие в сигнале получается для расстояния зондирования 5 км, и значения равны: для полуширины линии генерации лазера 1 ГГц – 1,78 мкВт, для полуширины 2 ГГц – 1,76 мкВт и для 4 ГГц – 1,71 мкВт. Как видно из графика на рис. 2, увеличение ширины линии генерации лазера дает некоторое уменьшение мощности упругого рассеяния назад (до 4% при увеличении полуширины в 4 раза) на расстоянии зондирования 5 км.
Рассмотрим второй вариант решения уравнения (11), не делая никаких предварительных предположений. Только введем калибровочную константу лидара
и аппроксимируем аппаратную функцию Гауссовой кривой с единичной амплитудой типа (14). Перепишем уравнение (11) в виде
(18)
Учитывая, что , преобразуем две последние экспоненты в (18) и обозначим . Тогда из уравнения (18) получим
(19)
Так же, как и ранее, выполним численное моделирование по уравнению (19) для тех же значений полуширины 1, 2 и 4 ГГц, в предположении однократного рассеяния. Значения геометрической функции и коэффициентов ослабления в атмосфере и обратного рассеяния на 180 град задавались таблично по данным [1]. В качестве примера на рис. 3 приведены результаты численного решения уравнения (19) для случая G(z) = 1, = 10 м-1 и = 0,01 км-1 в максимуме линии генерации лазера из [1] и однородной атмосферы.
Как видно из графика на рис. 3, увеличение ширины линии генерации лазера дает некоторое уменьшение мощности упругого рассеяния назад (до 1,5% при увеличении полуширины в 4 раза) на расстоянии зондирования от 2 до 5 км, что подтверждает полученные выше результаты двух вариантов решения лидарного уравнения для упругого однократного рассеяния типа (17).
Таким образом, для моностатического аэрозольного лидара впервые показано, что учет конечной ширины линии генерации лазера заметно проявляется на расстояниях зондирования более 1 км и ведет к уменьшению мощности сигнала упругого рассеяния в направлении назад на единицы процента. Поэтому для повышения точности лидарных измерений надо учитывать конечную ширину линии генерации лазера.
Литература
Привалов В.Е., Шеманин В.Г. Параметры лидаров для дистанционного зондирования газовых молекул и аэрозоля в атмосфере. – С.-Пб: Изд-во БГТУ, 2001.
Воронина Э.И , Привалов В.Е., Фотиади А.Э., Шеманин В. Г. Лазерные приборы контроля радиоактивного загрязнения воздуха: Учебно-методическое пособие. – Новороссийск. НПИ. 2009.
Креков Г.М., Крекова М.М., Суханов А.Я., Лысенко А.А. Лидарное уравнение для широкополосного оптического излучения. – Письма в журнал технической физики, 2009, т. 35, вып. 15, с.8–15.
Долгих Г.И., Привалов В.Е. Лазеры. Лазерные системы. – Владивосток: Дальнаука. 2009.
Донченко В.А., Кабанов М.В., Кауль Б.В., Самохвалов И.В. Атмосферная электрооптика. – Томск: Изд-во НТЛ, 2010.
Межерис Р. Лазерное дистанционное зондирование – М.: Мир,1987. с. 269 – 276.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – М.: Наука, 1986.
Воронина Э.И., Привалов В.Е., Шеманин В.Г. Зондирование молекул водорода на лабораторном лидаре КР. – Письма в журнал технической физики, 2004, т. 30, вып.5, с.14–17.
Зуев В.Е., Кауль Б.В., Самохвалов И.В., Кирков К.И., Цанев В.И. Лазерное зондирование индустриальных аэрозолей. – Новосибирск: Наука, 1986.
Целью настоящей работы является учет ширины линии генерации лазера в уравнении лазерного зондирования для моностатического аэрозольного лидара. Обобщенная схема такого аэрозольного лидара представлена на рис. 1. Оптические оси излучателя (лазера) и приемного телескопа направлены вдоль оси Z. Обычно диаграммы направленности излучателя θL и приемного телескопа θT малы ( θL ~ θT << 1 ~ 10-4 ... 10-3 ), поэтому будем считать, что их мгновенный диаметр будет определяться как dL ~ θL ∙ z. Для телесных углов, определяющих расходимость зондирующего лазерного излучения ΩL = πθL2 и поле зрения приемного телескопа ΩT = πθT2 , справедливо соотношение ΩL < ΩT < 1 .
Передающую систему лидара будем характеризовать мощностью посылаемого в атмосферу лазерного излучения P0, длительностью импульса лазера , а линию генерации лазера будем считать Гауссовой с максимумом на частоте и полушириной . Тогда мощность лазерного излучения в соответствии с [4] можно представить в виде
. (1)
Для Гауссовой формы линии генерации выражение (1) для мощности можно переписать в виде
, (2)
где обозначена функция
. (3)
Площадь приемной апертуры телескопа обозначим S0. Оптические характеристики атмосферы на трассе зондирования z зададим индикатрисой рассеяния , коэффициентом рассеяния и коэффициентом ослабления .
Пусть в момент времени t = 0 в атмосферу в заданном направлении z лазер посылает импульс длительностью . Считая распределение интенсивности по поперечному сечению лазерного луча равномерным, интенсивность излучения, рассеянного в направлении 180 град объемом атмосферы V на частоте в интервале частот и находящимся на расстоянии z >>, можно записать, следуя [5], в виде
, (4)
где d, d – интенсивности падающего и рассеянного излучения на частоте ν в интервале частот , а в индикатрисе рассеяния означает, что рассматривается рассеяние назад для углов . На вход приемного телескопа в любой момент времени t приходит излучение из рассеивающего объема V, ограниченного диаграммой направленности излучателя и длительностью зондирующего импульса, причем освещаемая площадь или поперечное сечение лазерного луча на расстоянии z будет определяться произведением ΩLz2 = πθL2z2.
Интенсивность падающего на объем V лазерного излучения на частоте ν в интервале частот равна
, (5)
где T(ν,z) – пропускание или прозрачность на частоте участка трассы от лидара до исследуемого объема, равное, согласно методике [6]
. (6)
Мощность рассеянного назад излучения на частоте в интервале , поступающего на фотоприемник лидара, в общем случае определяется выражением, приведенном в [5]:
, (7)
где – спектральный коэффициент пропускания приемной системы лидара [2, 5] или его аппаратная функция, – коэффициент обратного рассеяния [3] и G(z) – геометрическая функция лидара [5] или геометрический фактор [1, 6]. Эта функция полностью определяется параметрами оптической схемы лидара и по сути количественно характеризует степень виньетирования потока рассеянного назад излучения, поступающего на фотоприемник из рассеивающего объема атмосферы с расстояния z [5]. Согласно [5], геометрическая функция лежит в пределах 0 < G(z) < 1 .
Подставляя в выражение (7) интенсивность из (5), получим выражение, аналогичное лидарному уравнению в [5]
.
(8)
Используя соотношение для индикатрисы рассеяния из [2] в виде
, (9)
перепишем выражение (8) в виде
. (10)
Интегрируя выражение (10) по всей ширине линии генерации от () до () и подставляя в него формулы (2) и (6), окончательно получим уравнения лазерного зондирования для рассеяния Ми в направлении назад для линии генерации лазера конечной полуширины в виде
(11)
Рассмотрим решение уравнения (11) при следующих предположениях.
Будем считать, что длина волны зондирующего излучения такова, что поглощение молекулами атмосферных газов пренебрежимо мало по сравнению с рассеянием [5]. Кроме того, введем в соответствии с [9] лидарное отношение в виде
, (12),
которое также является функцией частоты лазерного излучения и расстояния зондирования. [8] Перепишем уравнение (5), используя выражение для лидарного отношения (12), в виде
(13)
где обозначена калибровочная константа лидара
.
Аппроксимируем аппаратную функцию Гауссовой кривой с единичной амплитудой вида
. (14)
Учитывая, что и считая и , т.е. практически не зависящими от частоты в исследуемом диапазоне 2, а также обозначая = x, перепишем уравнение (13) в виде
(15)
Преобразуем две последние экспоненты в (15) и обозначим . Первый интеграл по r в приближении однородной трассы заменим произведением . Тогда из уравнения (15), вводя так называемую лидарную S-функцию вида [9], получим
. (16)
Последний интеграл в (16) сведем к табличному [7] и в итоге получаем лидарное уравнение для однократного упругого рассеяния, аналогичное [9], в виде
(17)
Сделаем численные оценки для значений полуширины в диапазоне 1 – 4 ГГц, в предположении, что ширина аппаратной функции на порядок больше, чем ширина линии генерации лазера. Результаты численного решения для функции LS = S ( z ) / z2 по уравнению (17) для случая однократного рассеяния и однородной атмосферы представлены на рис. 2.
Максимальное различие в сигнале получается для расстояния зондирования 5 км, и значения равны: для полуширины линии генерации лазера 1 ГГц – 1,78 мкВт, для полуширины 2 ГГц – 1,76 мкВт и для 4 ГГц – 1,71 мкВт. Как видно из графика на рис. 2, увеличение ширины линии генерации лазера дает некоторое уменьшение мощности упругого рассеяния назад (до 4% при увеличении полуширины в 4 раза) на расстоянии зондирования 5 км.
Рассмотрим второй вариант решения уравнения (11), не делая никаких предварительных предположений. Только введем калибровочную константу лидара
и аппроксимируем аппаратную функцию Гауссовой кривой с единичной амплитудой типа (14). Перепишем уравнение (11) в виде
(18)
Учитывая, что , преобразуем две последние экспоненты в (18) и обозначим . Тогда из уравнения (18) получим
(19)
Так же, как и ранее, выполним численное моделирование по уравнению (19) для тех же значений полуширины 1, 2 и 4 ГГц, в предположении однократного рассеяния. Значения геометрической функции и коэффициентов ослабления в атмосфере и обратного рассеяния на 180 град задавались таблично по данным [1]. В качестве примера на рис. 3 приведены результаты численного решения уравнения (19) для случая G(z) = 1, = 10 м-1 и = 0,01 км-1 в максимуме линии генерации лазера из [1] и однородной атмосферы.
Как видно из графика на рис. 3, увеличение ширины линии генерации лазера дает некоторое уменьшение мощности упругого рассеяния назад (до 1,5% при увеличении полуширины в 4 раза) на расстоянии зондирования от 2 до 5 км, что подтверждает полученные выше результаты двух вариантов решения лидарного уравнения для упругого однократного рассеяния типа (17).
Таким образом, для моностатического аэрозольного лидара впервые показано, что учет конечной ширины линии генерации лазера заметно проявляется на расстояниях зондирования более 1 км и ведет к уменьшению мощности сигнала упругого рассеяния в направлении назад на единицы процента. Поэтому для повышения точности лидарных измерений надо учитывать конечную ширину линии генерации лазера.
Литература
Привалов В.Е., Шеманин В.Г. Параметры лидаров для дистанционного зондирования газовых молекул и аэрозоля в атмосфере. – С.-Пб: Изд-во БГТУ, 2001.
Воронина Э.И , Привалов В.Е., Фотиади А.Э., Шеманин В. Г. Лазерные приборы контроля радиоактивного загрязнения воздуха: Учебно-методическое пособие. – Новороссийск. НПИ. 2009.
Креков Г.М., Крекова М.М., Суханов А.Я., Лысенко А.А. Лидарное уравнение для широкополосного оптического излучения. – Письма в журнал технической физики, 2009, т. 35, вып. 15, с.8–15.
Долгих Г.И., Привалов В.Е. Лазеры. Лазерные системы. – Владивосток: Дальнаука. 2009.
Донченко В.А., Кабанов М.В., Кауль Б.В., Самохвалов И.В. Атмосферная электрооптика. – Томск: Изд-во НТЛ, 2010.
Межерис Р. Лазерное дистанционное зондирование – М.: Мир,1987. с. 269 – 276.
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. – М.: Наука, 1986.
Воронина Э.И., Привалов В.Е., Шеманин В.Г. Зондирование молекул водорода на лабораторном лидаре КР. – Письма в журнал технической физики, 2004, т. 30, вып.5, с.14–17.
Зуев В.Е., Кауль Б.В., Самохвалов И.В., Кирков К.И., Цанев В.И. Лазерное зондирование индустриальных аэрозолей. – Новосибирск: Наука, 1986.
Отзывы читателей
