eng
На практике для усиления мощности предельно коротких импульсов широко используют усилитель чирпированных импульсов (Chirped pulse amplification, CPA) [1]. Две взаимно дополняющих друг друга линии задержки с дисперсиями противоположных знаков придают особенность их конструкции. Линия задержки это фазовый фильтр, то есть спектры импульсов на входе (...) и выходе (...) системы, представленные в равномерной шкале частот (...), связаны соотношением [2]:
(...)
Здесь (...), где (...) – зависимость времени задержки T от частоты (...). Идеальная линия задержки меняет лишь фазу, сохраняя амплитуду спектра импульса неизменной: (...)
В качестве линии задержки с отрицательной дисперсией в оптике ультракоротких лазерных импульсов традиционно используют двухпроходный двухрешетчатый компрессор с поворотным зеркалом (рис.1a). Эта схема эквивалентна системе «двухрешетчатый компрессор в прямом ходе луча – двухрешетчатый компрессор в обратном ходе луча» (рис.1 б).
Компрессор состоит из пары параллельно расположенных отражательных дифракционных решеток [3,4]. Первая решетка преобразует частотный спектр лазерного импульса в угловой спектр. Его протяженность в пространстве ограничивает геометрические размеры второй решетки. Это ограничение, искажающее амплитуду спектра проходящего импульса, называют спектральным клиппированием (spectral clipping) [5,6].
Отметим, что отражательные дифракционные решетки (рис.1) в компрессоре разделены плоскопараллельным слоем свободного пространства, а такой слой является простейшей линейной системой, инвариантной по отношению к сдвигу в пространстве (линейной изопланарной системой) [7]. Поэтому при описании его спектрального клиппирования мы вынуждены учитывать другую его инвариантность – инвариантность по отношению к сдвигу в пространстве. Хотя двухрешетчатый компрессор используется как линия задержки (1), то есть как линейная система, инвариантная по отношению к сдвигу во времени.
Цель настоящей работы – описать влияние размеров дифракционных решеток компрессора на спектр лазерного импульса, используя методику энергетического расчета линейных изопланарных систем, описанную в работах [8, 9].
Простейший линейный фильтр – слой свободного пространства
Простейшей линейной изопланарной оптической системой с единичным увеличением является слой свободного пространства толщины z, во входной плоскости (x,y) которого расположен транспарант с распределением пропускания ..., освещенный плотно прилегающим к нему планарным квазиоднородным источником (рис.2а, б). Квазиоднородным называется планарный источник, пространственные и угловые характеристики которого независимы [8]:
(...)
Здесь (...) – распределение яркости планарного источника, M(x,y) – светимость источника, описывающая распределение излучения по его поверхности, ... – «sin-индикатриса», описывающая распределение излучения источника по направлениям в пространстве, (...) - углы сферической системы координат [10] (рис.2а). В частности, вторичным квазиоднородным источником является слой рассеивающей среды с индикатрисой (...), освещаемый плоскопараллельным пучком световых лучей (рис.2б), который формирует на рассеивающем слое световое пятно M(x,y). Распределние освещенности E(xz,yz) в выходной плоскости этой системы (xz,yz) описывается интегралом свертки:
(...)
Здесь (...) – результирующее распределение светимости по входной плоскости (входной сигал), (...) – «z-аппаратная функция» этой изопланарной системы, то есть реакция системы S{…} на точечное воздействие, описываемое дельта-функцией Дирака (...) [7]. Условие изопланарности сводится к тому, что сдвиг точечного воздействия на величину ξ (например, по оси x) приводит к сдвигу на ту же величину ξ аппаратной функции системы (рис.3а).
Если рассматривать перпендикуляр 0z к плоскости как аналог оси времени механики, то направление распространения света удобно характеризовать «скоростями» (...). В новых переменных выражение (3) примет вид
(...)
«Аппаратная функция» 3-3.eps связана с z-аппаратной функцией (...) «законом обратных квадратов» (рис.3б) [8–10]:
(...)
а с sin-индикатрисой (...) - «законом четвертой степени косинуса» [8–10]:
(...)
где (...).
Аппаратные функции и sin-индикатриса (...)
нормированы на единицу:
(...)
Отмечено, что если в выходной плоскости разместить еще один транспарант с распределением пропускания по потоку (...), то, согласно формуле (4), поток излучения F, проходящий через эту пару транспарантов (рис.3а), вычисляется по формуле
(...)
– скалярное произведение функций пропускания транспарантов (...)(xz,yz) и (...)(x,y) в пространстве с метрикой (...).
Используя закон обратных квадратов (5) и формулу (6), выражение (7) можно записать так (рис.4а):
(...)
где (...)
– корреляционная функция пропускания транспарантов (...) (xz,yz) и (...) (x,y) (рис.5). Отметим, что если бы существовал точечный источник (рис.4б) с аппаратной функцией (...), то его поток излучения F вычислялся бы по формуле
(...)
Из сравнения выражений (8) и (9) получим, что исходная аппаратная функция компрессора фильтруется корреляционной функцией транспарантов:
(...)
Компрессор как линейный фильтр
Компрессор ультракоротких импульсов состоит из слоя свободного пространства толщины z, ограниченного парой параллельных плоских дифракционных решеток, габаритные размеры которых характеризуются функциями пропускания транспарантов (...)(x,y) и (...)’(xz,yz), то есть это – типичная линейная изопланарная система (рис.6). Более того, компрессор расположен на выходе СРА, где мощность излучения экстремально высока и поэтому, во избежание оптического пробоя, падающий на компрессор плоскопараллельный пучок световых лучей стараются максимально равномерно распределить по всей отражающей поверхности первой дифракционной решетки (...)(x,y). Тем самым, описание клиппирования в компрессоре сводится к описанию ограничения парой параллельных диафрагм потока излучения от протяженного вторичного квазиоднородного источника (рис.2б), только в качестве квазиоднородного источника используется первая дифракционная решетка компрессора. Аппаратная функция компрессора (...) [11] – спектрально окрашенное колоколообразное распределение освещенности в плоскости второй дифракционной решетки, формируемое при дифракции на первой решетке бесконечно тонкого полихроматического светового луча единичной интенсивности. Причем, в отличие от аппаратной функции рассеивающего слоя (...), аппаратная функция дифракционной решетки (...) «размазывает» излучение не по двум (...), а лишь по одной координате (...).
Таким образом,
(...)
В этом случае общее выражение (7) примет вид:
(...)
Здесь (...) – результирующее распределение светимости в плоскости первой дифракционной решетки, а M(x,y) – распределение освещенности, создаваемое падающим параллельным пучком.
Если предположить, что обе дифракционные решетки имеют одну и ту же ширину «b», то описание пропускания транспарантов дифракционных решеток упрощается:
(...)
где
(...)
В этом случае выражение (11) примет вид:
(...)
Здесь
(...)
– пропускание «эффективного транспаранта» первой дифракционной решетки. Проведя замену переменных (...), выражение (14) можно записать так:
(...)
Это одномерный аналог двумерного выражения (8), а соответствующим одномерным аналогом выражения (10) является соотношение
(...)
Интерпретируем это соотношение как фильтрацию исходной аппаратной функции источника ginx.eps другой функцией – корреляционной функцией диафрагм cov.eps. Заметим, что согласно принципу обратимости, фильтрация двухпроходного компрессора (рис.1б) описывается тем же выражением, что и фильтрация однопроходного компрессора (16).
Если падающий параллельный световой пучок равномерно заполняет всю поверхность первой дифракционной решетки компрессора: mxtx.eps, и при этом обе дифракционные решетки имеют прямоугольную форму одной и той же ширины «b», но первая из них имеет длину «а», а вторая – длину «a’», то корреляционная функция транспарантов
(...)
выглядит, как равнобочная трапеция с верхним основанием «a’-a» и нижним основанием «a’+a» (рис.7). При этом размеры первого и второго транспарантов влияют на корреляционную функцию одинаково.
Аппаратная функция компрессора характеризует спектр падающего на компрессор оптического импульса. Отметим, что (...), где ox.eps – угол дифракции монохроматического излучения с длиной волны (...). Угол ox.eps связан с углом падения kzv.eps на первую дифракционную решетку компрессора уравнением дифракционной решетки [3, 4]:
(...)
Здесь l – порядок дифракции, d – постоянная дифракционной решетки (рис.6).
Алгоритм расчета влияния размеров дифракционной решетки на частотный спектр импульса
Поскольку компрессор – линейная система, инвариантная по отношению к сдвигу в пространстве, а не во времени, то алгоритм преобразования амплитуды спектра импульса можно описать следующим образом.
1) Частота и длина волны связаны простым и взаимнооднозначным соотношением (...). Поэтому амплитудный спектр входного импульса можно представить не только в равномерной шкале частот | (...)|, но и в равномерной шкале длин волн (...) [12]:
(...)
2) Согласно формуле дифракции (17) перейдем от амплитудного спектра входного импульса, представленного в равномерной шкале длин волн (...) , к угловому спектру мощности (...):
(...)
3) Из углового спектра (...) по закону четверной степени косинуса (6) выведем аппаратную функцию компрессора (...):
(...)
4) Фильтрация аппаратной функции двухпроходного компрессора (16) корреляционной функцией 8-3.eps ее дифракционных решеток (...):
(...)
5) Аппаратную функцию компрессора (...) преобразуем в угловой спектр мощности (...), используя закон минус четвертой степени косинуса:
(...)
6) Угловой спектр мощности (...) преобразуем в амплитудный спектр, представленный в равномерной шкале длин волн (...):
(...)
7) Наконец перейдем от выходного амплитудного спектра импульса, представленного в равномерной шкале длин волн, (...) к амплитудному спектру, представленному в равномерной шкале частот | (...)|:
(...)
Таким образом, показано, что аппаратная функция компрессора фильтруется корреляционной функцией транспарантов пропускания его дифракционных решеток (16). На основе этого преобразования построен алгоритм преобразования частотного спектра сигнала в двухрешетчатом компрессоре.
Литература
1. Mourou G.A., Barty C.P.J., Perry M.D. –Physics Today, 51, 22 (1998).
2. Гитин А. В.–Квантовая электроника., 36, 376 (2006).
3. Treacy E.B. – Physics Letters, 28A (1), 34 (1968).
4. Treacy E.B. – IEEE Jornal of Quantum Electronics, QE-5, 454 (1969).
5. Trentelman M., Ross I.N., Danson C.N. – Applied Optics, 36, 8567 (1997).
6. Li B. C., Theobald W., Welsch E. et all. – Applied Physics B Lasers and Optics, 71, 819 (2000).
7. Lloid J.M. – Thermal Imaging Systems (Plenum Press, New York, 1975).
8. Гитин А. В. – Оптика и спектроскопия, 63, 183 (1987).
9. Гитин А. В. – Оптико-механическая промышленность, 1989, № 7.
10. Гитин А. В. – Оптический журнал. 65 (2) 45 (1998).
11. Раутиан С. Г. – Успехи физических наук, 66, 475 (1958).
12. Гершун А. А. – Успехи физических наук, 46, 388 (1952).
*Линейная изопланарная система инвариантна относительно сдвига в пространстве.
(...)
Здесь (...), где (...) – зависимость времени задержки T от частоты (...). Идеальная линия задержки меняет лишь фазу, сохраняя амплитуду спектра импульса неизменной: (...)
В качестве линии задержки с отрицательной дисперсией в оптике ультракоротких лазерных импульсов традиционно используют двухпроходный двухрешетчатый компрессор с поворотным зеркалом (рис.1a). Эта схема эквивалентна системе «двухрешетчатый компрессор в прямом ходе луча – двухрешетчатый компрессор в обратном ходе луча» (рис.1 б).
Компрессор состоит из пары параллельно расположенных отражательных дифракционных решеток [3,4]. Первая решетка преобразует частотный спектр лазерного импульса в угловой спектр. Его протяженность в пространстве ограничивает геометрические размеры второй решетки. Это ограничение, искажающее амплитуду спектра проходящего импульса, называют спектральным клиппированием (spectral clipping) [5,6].
Отметим, что отражательные дифракционные решетки (рис.1) в компрессоре разделены плоскопараллельным слоем свободного пространства, а такой слой является простейшей линейной системой, инвариантной по отношению к сдвигу в пространстве (линейной изопланарной системой) [7]. Поэтому при описании его спектрального клиппирования мы вынуждены учитывать другую его инвариантность – инвариантность по отношению к сдвигу в пространстве. Хотя двухрешетчатый компрессор используется как линия задержки (1), то есть как линейная система, инвариантная по отношению к сдвигу во времени.
Цель настоящей работы – описать влияние размеров дифракционных решеток компрессора на спектр лазерного импульса, используя методику энергетического расчета линейных изопланарных систем, описанную в работах [8, 9].
Простейший линейный фильтр – слой свободного пространства
Простейшей линейной изопланарной оптической системой с единичным увеличением является слой свободного пространства толщины z, во входной плоскости (x,y) которого расположен транспарант с распределением пропускания ..., освещенный плотно прилегающим к нему планарным квазиоднородным источником (рис.2а, б). Квазиоднородным называется планарный источник, пространственные и угловые характеристики которого независимы [8]:
(...)
Здесь (...) – распределение яркости планарного источника, M(x,y) – светимость источника, описывающая распределение излучения по его поверхности, ... – «sin-индикатриса», описывающая распределение излучения источника по направлениям в пространстве, (...) - углы сферической системы координат [10] (рис.2а). В частности, вторичным квазиоднородным источником является слой рассеивающей среды с индикатрисой (...), освещаемый плоскопараллельным пучком световых лучей (рис.2б), который формирует на рассеивающем слое световое пятно M(x,y). Распределние освещенности E(xz,yz) в выходной плоскости этой системы (xz,yz) описывается интегралом свертки:
(...)
Здесь (...) – результирующее распределение светимости по входной плоскости (входной сигал), (...) – «z-аппаратная функция» этой изопланарной системы, то есть реакция системы S{…} на точечное воздействие, описываемое дельта-функцией Дирака (...) [7]. Условие изопланарности сводится к тому, что сдвиг точечного воздействия на величину ξ (например, по оси x) приводит к сдвигу на ту же величину ξ аппаратной функции системы (рис.3а).
Если рассматривать перпендикуляр 0z к плоскости как аналог оси времени механики, то направление распространения света удобно характеризовать «скоростями» (...). В новых переменных выражение (3) примет вид
(...)
«Аппаратная функция» 3-3.eps связана с z-аппаратной функцией (...) «законом обратных квадратов» (рис.3б) [8–10]:
(...)
а с sin-индикатрисой (...) - «законом четвертой степени косинуса» [8–10]:
(...)
где (...).
Аппаратные функции и sin-индикатриса (...)
нормированы на единицу:
(...)
Отмечено, что если в выходной плоскости разместить еще один транспарант с распределением пропускания по потоку (...), то, согласно формуле (4), поток излучения F, проходящий через эту пару транспарантов (рис.3а), вычисляется по формуле
(...)
– скалярное произведение функций пропускания транспарантов (...)(xz,yz) и (...)(x,y) в пространстве с метрикой (...).
Используя закон обратных квадратов (5) и формулу (6), выражение (7) можно записать так (рис.4а):
(...)
где (...)
– корреляционная функция пропускания транспарантов (...) (xz,yz) и (...) (x,y) (рис.5). Отметим, что если бы существовал точечный источник (рис.4б) с аппаратной функцией (...), то его поток излучения F вычислялся бы по формуле
(...)
Из сравнения выражений (8) и (9) получим, что исходная аппаратная функция компрессора фильтруется корреляционной функцией транспарантов:
(...)
Компрессор как линейный фильтр
Компрессор ультракоротких импульсов состоит из слоя свободного пространства толщины z, ограниченного парой параллельных плоских дифракционных решеток, габаритные размеры которых характеризуются функциями пропускания транспарантов (...)(x,y) и (...)’(xz,yz), то есть это – типичная линейная изопланарная система (рис.6). Более того, компрессор расположен на выходе СРА, где мощность излучения экстремально высока и поэтому, во избежание оптического пробоя, падающий на компрессор плоскопараллельный пучок световых лучей стараются максимально равномерно распределить по всей отражающей поверхности первой дифракционной решетки (...)(x,y). Тем самым, описание клиппирования в компрессоре сводится к описанию ограничения парой параллельных диафрагм потока излучения от протяженного вторичного квазиоднородного источника (рис.2б), только в качестве квазиоднородного источника используется первая дифракционная решетка компрессора. Аппаратная функция компрессора (...) [11] – спектрально окрашенное колоколообразное распределение освещенности в плоскости второй дифракционной решетки, формируемое при дифракции на первой решетке бесконечно тонкого полихроматического светового луча единичной интенсивности. Причем, в отличие от аппаратной функции рассеивающего слоя (...), аппаратная функция дифракционной решетки (...) «размазывает» излучение не по двум (...), а лишь по одной координате (...).
Таким образом,
(...)
В этом случае общее выражение (7) примет вид:
(...)
Здесь (...) – результирующее распределение светимости в плоскости первой дифракционной решетки, а M(x,y) – распределение освещенности, создаваемое падающим параллельным пучком.
Если предположить, что обе дифракционные решетки имеют одну и ту же ширину «b», то описание пропускания транспарантов дифракционных решеток упрощается:
(...)
где
(...)
В этом случае выражение (11) примет вид:
(...)
Здесь
(...)
– пропускание «эффективного транспаранта» первой дифракционной решетки. Проведя замену переменных (...), выражение (14) можно записать так:
(...)
Это одномерный аналог двумерного выражения (8), а соответствующим одномерным аналогом выражения (10) является соотношение
(...)
Интерпретируем это соотношение как фильтрацию исходной аппаратной функции источника ginx.eps другой функцией – корреляционной функцией диафрагм cov.eps. Заметим, что согласно принципу обратимости, фильтрация двухпроходного компрессора (рис.1б) описывается тем же выражением, что и фильтрация однопроходного компрессора (16).
Если падающий параллельный световой пучок равномерно заполняет всю поверхность первой дифракционной решетки компрессора: mxtx.eps, и при этом обе дифракционные решетки имеют прямоугольную форму одной и той же ширины «b», но первая из них имеет длину «а», а вторая – длину «a’», то корреляционная функция транспарантов
(...)
выглядит, как равнобочная трапеция с верхним основанием «a’-a» и нижним основанием «a’+a» (рис.7). При этом размеры первого и второго транспарантов влияют на корреляционную функцию одинаково.
Аппаратная функция компрессора характеризует спектр падающего на компрессор оптического импульса. Отметим, что (...), где ox.eps – угол дифракции монохроматического излучения с длиной волны (...). Угол ox.eps связан с углом падения kzv.eps на первую дифракционную решетку компрессора уравнением дифракционной решетки [3, 4]:
(...)
Здесь l – порядок дифракции, d – постоянная дифракционной решетки (рис.6).
Алгоритм расчета влияния размеров дифракционной решетки на частотный спектр импульса
Поскольку компрессор – линейная система, инвариантная по отношению к сдвигу в пространстве, а не во времени, то алгоритм преобразования амплитуды спектра импульса можно описать следующим образом.
1) Частота и длина волны связаны простым и взаимнооднозначным соотношением (...). Поэтому амплитудный спектр входного импульса можно представить не только в равномерной шкале частот | (...)|, но и в равномерной шкале длин волн (...) [12]:
(...)
2) Согласно формуле дифракции (17) перейдем от амплитудного спектра входного импульса, представленного в равномерной шкале длин волн (...) , к угловому спектру мощности (...):
(...)
3) Из углового спектра (...) по закону четверной степени косинуса (6) выведем аппаратную функцию компрессора (...):
(...)
4) Фильтрация аппаратной функции двухпроходного компрессора (16) корреляционной функцией 8-3.eps ее дифракционных решеток (...):
(...)
5) Аппаратную функцию компрессора (...) преобразуем в угловой спектр мощности (...), используя закон минус четвертой степени косинуса:
(...)
6) Угловой спектр мощности (...) преобразуем в амплитудный спектр, представленный в равномерной шкале длин волн (...):
(...)
7) Наконец перейдем от выходного амплитудного спектра импульса, представленного в равномерной шкале длин волн, (...) к амплитудному спектру, представленному в равномерной шкале частот | (...)|:
(...)
Таким образом, показано, что аппаратная функция компрессора фильтруется корреляционной функцией транспарантов пропускания его дифракционных решеток (16). На основе этого преобразования построен алгоритм преобразования частотного спектра сигнала в двухрешетчатом компрессоре.
Литература
1. Mourou G.A., Barty C.P.J., Perry M.D. –Physics Today, 51, 22 (1998).
2. Гитин А. В.–Квантовая электроника., 36, 376 (2006).
3. Treacy E.B. – Physics Letters, 28A (1), 34 (1968).
4. Treacy E.B. – IEEE Jornal of Quantum Electronics, QE-5, 454 (1969).
5. Trentelman M., Ross I.N., Danson C.N. – Applied Optics, 36, 8567 (1997).
6. Li B. C., Theobald W., Welsch E. et all. – Applied Physics B Lasers and Optics, 71, 819 (2000).
7. Lloid J.M. – Thermal Imaging Systems (Plenum Press, New York, 1975).
8. Гитин А. В. – Оптика и спектроскопия, 63, 183 (1987).
9. Гитин А. В. – Оптико-механическая промышленность, 1989, № 7.
10. Гитин А. В. – Оптический журнал. 65 (2) 45 (1998).
11. Раутиан С. Г. – Успехи физических наук, 66, 475 (1958).
12. Гершун А. А. – Успехи физических наук, 46, 388 (1952).
*Линейная изопланарная система инвариантна относительно сдвига в пространстве.
Отзывы читателей
