eng
Для усиления ультракоротких импульсов (УКИ) обычно используют кристалл Ti3+:Al2O3 (сапфир, активированный титаном). Для равномерного освещения торцевой поверхности кристалла излучением от лазера накачки пучок гомогенизируют. Его пропускают через преломляющую среду или направляют на зеркало с распределенными на его поверхности светорассеивающими элементами определенной формы. Показано, что оптимальный профиль светорассеивающих микронеровностей можно определить тем же методом, который используется в расчетах элементов экрана зеркального фотоаппарата.
Введение
Современные твердотельные лазеры способны излучать УКИ. Для усиления таких импульсов используют активные кристаллы с максимально широкой спектральной полосой усиления, например кристалл Ti3+:Al2O3, накачиваемый второй гармоникой излучения Nd:YAG-лазеров или лазеров на Nd стекле [1]. Поскольку коэффициент усиления пропорционален интенсивности накачки, то освещенность должна быть максимальной, но при этом она ни в одной точке торцевой поверхности не должна превышать порога прочности кристалла (рис.1) [2]. (Пороговая прочность Ti3+:Al2O3 имеет величину порядка нескольких ватт на квадратный сантиметр.) Кроме того, равномерное распределение освещенности излучения накачки по торцевой поверхности активного кристалла способствует получению на выходе из квантового усилителя лазерного импульса дифракционной расходимости.
В наиболее простом варианте фокусирующее устройство (положительная линза или вогнутое зеркало) просто собирает излучение лазера накачки на торцевой поверхности активного элемента (см. рис.1а). Если распределение освещенности, формируемое таким образом, не достаточно равномерно, то используют дополнительные оптические элементы-гомогенизаторы, нужным образом перемешивающие излучение (см. рис.1б). В качестве гомогенизаторов обычно используют разные светорассеивающие элементы: фацетированные зеркала [3], микролинзовые матрицы [1–6], хаотические фазовые экраны [6, 7] и другие. Подобные светорассеивающие элементы используются также для равномерного освещения мишени в установках для ввода излучения в световолоконный жгут [6] или для изучения лазерного термояда [7].
Светорассеивающие элементы широко используются и в традиционной оптике. Фацетированные зеркала позволяют устранить раздражающую глаз "пятнистость" излучения в медицинских осветителях [8, 9]. Микролинзовые фокусировочные экраны фирмы "Минольта" и квазилинзовые, так называемые "лазерные", фокусировочные экраны фирмы "Канон" повышают светосилу и точность фокусировки видоискателей зеркальных фотоаппаратов [10, 11].
Для расчета профиля микронеровностей гомогенизатора используем тот же метод, что и для расчета профиля микронеровностей фокусировочного экрана видоискателя зеркального фотоаппарата [10, 11].
Оптимальная индикатриса гомогенизатора
В идеале безаберрационная фокусирующая линза (или сферическое зеркало) с фокусом f концентрирует проходящий через нее параллельный лазерный пучок в световую точку δ(xf, yf) на задней фокальной плоскости. Однако реальный пучок обладает угловой расходимостью и поэтому, после прохождения безаберрационной линзы, световая точка в задней фокальной плоскости расплывется и превращается в световое пятно вида τ(xf, yf) [см. рис.1а). Это световое пятно можно расширить и сгладить, если перед фокусирующей системой поместить гомогенизатор (рис.1б). Влияние гомогенизатора на форму светового пятна описывается сверткой:
...................
где h(x*–xf, y*–yf) – функция рассеяния точки (ФРТ) фокусирующей системы.
Поместим в задней фокальной плоскости линзы апертурную диафрагму с распределением τo(x*,y*) – торец кристалла Ti-Sapphire. В этом случае полезный поток излучения F, то есть поток, насыщающий активный кристалл усилителя, вычисляется по формуле
...................
Заметим, что это выражение можно записать в виде скалярного произведения
....................
где
....................
корреляционная функция от τ(xf, yf) и τo(x*,y*), а ξ ≡ x* – xf, η ≡ y* – yf .
Скалярное произведение векторов (в частности, бесконечномерных векторов-функций) максимально, когда они параллельны, поэтому интересующий нас поток излучения максимален, если ФРТ оптической системы сопряжения h(ξη,) и корреляционная функция апертур cov(τ, τo)(ξ, η) (рис.2a) пропорциональны:
h(ξ,η) ~ cov(τ,τo)(ξ, η). (1)
Именно такая форма ФРТ фокусирующей оптической системы h(ξ,η) обеспечивает максимально равномерное и энергетически эффективное освещение торцевой поверхности кристалла Ti-Sapphire.
Естественно предположить, что исходное световое пятно в фокальной плоскости оптической системы τ(xf ,yf) имеет форму круга радиуса r:
...........................
Торец кристалла Ti-Sapphire цилиндрической формы τo(x*,y*) также имеет форму круга, но уже радиуса R:
.........................
В этом случае (см. рис.2б) корреляционная функция cov(τ,τo)(ξ, η) имеет вид усеченного конуса с круглыми основаниями диаметрами r+R и r–R (рис.2в). Согласно формуле (1), ту же форму должна иметь и оптимальная ФРТ оптической системы сопряжения.
Если же r << R, то хорошим инженерным приближением для оптимальной индикатрисы (1) является выражение
h(ξ,η) ~ circR-r(ξ,η).
(Этот результат позволил обосновать форму оптимальной индикатрисы светорассеяния матовых экранов зеркальных фотоаппаратов [10,11].)
Приближение однократного рассеяния
Гомогенизатор – это оптическая поверхность, на которой регулярно с неким периодом (или хаотически) расположены элементарные рассеиватели: микролинзы, микрозеркала, дифракционные элементы и другие. Предположим, что элементарные рассеиватели распределены по поверхности гомогенизатора регулярно с периодичностью d при квадратичной или гексагональной упаковке. В случае квадратичной упаковки рассеивателей на поверхности комплексная функция пропускания гомогенизатора описывается сверткой комплексной функции элементарного рассеивателя и соответствующей решетки с периодом d:
......................
Упростим рассматриваемую оптическую схему (см. рис.1b), предположив, что гомогенизатор расположен в передней фокальной плоскости фокусирующей оптической системы с фокусным расстоянием l = f. Выберем систему единиц так, чтобы длина волны излучения λ была равна 2π. В этом случае комплексная функция пропускания гомогенизатора U(x0,y0) и распределение комплексной амплитуды в задней фокальной плоскости фокусирующего элемента связаны преобразованием Фурье:
........................
где
........................
является двумерным преобразованием Фурье.
Согласно теореме о свертке, подставляя в формулу (3) выражение (2), получим, что распределение комплексной амплитуды в задней фокальной плоскости фокусирующего элемента есть произведение Фурье образа дифракционной решетки и Фурье образа элементарного рассеивателя:
........................
При этом [12]
.......................
Если период дифракционной решетки d достаточно велик, то расстояние между дифракционными максимумами мало и ее влиянием можно пренебречь. В этом случае, а также при нерегулярном, хаотическом распределении элементарных центров рассеяния, влиянием соседних элементарных рассеивателей можно пренебречь. Это приближение однократного рассеяния, при котором вторым сомножителем в формуле (4) можно пренебречь:
........................
Квадрат распределения комплексной амплитуды и есть интересующая нас ФРТ оптической системы:
........................
Эффективно-точечный источник
В работах [13, 14] показано, что в приближении однократного рассеяния ФРТ оптической системы сопряжения создается размещенным в задней узловой точке N’ "эффективным точечным источником" с той же индикатрисой (диаграммой направленности), что и индикатриса элементарного рассеивателя гомогенизатора (рис.3). Таким образом, ФРТ оптической системы сопряжения h(x*–xf, y*–yf ) связана с индикатрисой элементарного рассеивателя I(θ) в направлении θ "законом обратных квадратов" и "законом cos3" [13]:
.......................
где
.......................
Из этой формулы, зная оптимальную ФРТ оптической системы сопряжения, можно вычислить оптимальную индикатрису элементарного рассеивателя I(θ).
Проанализируем возможность изготовления гомогенизатора с оптимальной индикатрисой светорассеяния I(θ). Гомогенизатор представляет собой оптический элемент, преломляющая или отражающая поверхность которого имеет микронеровности в виде чередующихся выступов и впадин. Для получения гомогенизатора с оптимальной индикатрисой максимальный угол отклонения выступов и впадин от опорной поверхности не должен превышать угол α для преломляющей поверхности и угол β для отражающей поверхности (рис.4a и 4б). Эти углы связаны с радиусом R торцевой поверхности кристалла Ti-Sapphire и радиусом r светового пятна в фокальной плоскости безаберрационной фокусировочной линзы с фокусом f соотношениями [11]:
.......................
где n – показатель преломления среды, из которой изготовлен прозрачный гомогенизатор.
Отметим, что, учитывая желаемую круговую симметрию ФРТ, светорассеивающие микронеровности лучше размещать по поверхности гомогенизатора в виде концентрических окружностей или по спирали. Кроме того, такое размещение микронеровностей повысит пропускание гомогенизатора.
Показано, что для расчета профиля светорассеивающих микронеровностей гомогенизатора для УКИ можно использовать тот же метод, что и для расчета профиля светорассеивающих микронеровностей матового фокусировочного экрана зеркального фотоаппарата.
Литература
1. Canova F., Chambaret J.-P. Reversat F. et al. Pump beams homogenization for Terawatt/Petawatt class Ti-Sapphire amplifiers. – International Conference on Ultrahigh Intensity Lasers Development, Science and Emerging Applications (ICUIL 043) 2006 in Cassis (France)), 09H30–09H45, http://www.popsud.org/icuil2006/Program.php
2. Chawdhury E.A., Ongadi G., Walker B.C. et al. Micro-Optic Spatial Mode Conversion for Terawatt Class Amplifiers. – Conference on Lasers and Electro-Optics. – Quantum Electronics and Laser Science Conference (CLEO/QELS), 2003 Proceeding.
3. Kalachnikov M.P., Karpov V., Schoennagel H. Sandner Wl. 100-terawatt titanium-sapphire laser system. – Laser Physics, 2002, 12 (2).
4. Voelkel R., Herzig H. P., Nussbaum P., Daendliker R. Microlens array imaging system for photolithography. – Optical Engineering, 1996, 45 (11).
5. Voelkel R., Zimmerman M. Homogenisierung von Laserstrahlen. – Photonik, 2006, 3.
6. Kopp C. Revel L., Meyrueis P. Efficient beamshaper homogenizer design combining diffractive optical elements, microlens, and random phase plate. – J.Opt.A: Pure and Applied Optic,1999, 1.
7. Kato Y., Mims K., Miyanaga N. et al. Random Phasing of High-Power Laser for Uniform Taget Acceleration and Plasma-Instability Suppression. – Physical Review Letters, 1984, 53 (11).
8. Гитин А.В. К расчету световых приборов с фацетными отражателями. – Cветотехника,1994, №7.
9. Гитин А.В. Расчет зеркальных отражателей "методом развертки". – Оптический журнал,1996, № 3.
10. Гитин А. В. Метод энергетического расчета видоискателя зеркального фотоаппарата с матовым фокусировочным экраном. – ОМП, 1989, № 7.
11. Гитин А.В., Дудников Ю.А., Кудрявцев В.В., и др. Матовый фокусировочный экран с квазиоптимальной индикатрисой. – Вестник Ноу-Хау, 1993, №5. Вып.7.
12. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. – М.: Мир, 1971.
13. Гитин А. В. Радиометрия как раздел теории оптических систем. – Оптика и спектроскопия, 1987, 63 (1).
14. Гитин А.В. Эффективно-точечный источник. – Оптика и спектроскопия, 1994, 76 (1) .
Современные твердотельные лазеры способны излучать УКИ. Для усиления таких импульсов используют активные кристаллы с максимально широкой спектральной полосой усиления, например кристалл Ti3+:Al2O3, накачиваемый второй гармоникой излучения Nd:YAG-лазеров или лазеров на Nd стекле [1]. Поскольку коэффициент усиления пропорционален интенсивности накачки, то освещенность должна быть максимальной, но при этом она ни в одной точке торцевой поверхности не должна превышать порога прочности кристалла (рис.1) [2]. (Пороговая прочность Ti3+:Al2O3 имеет величину порядка нескольких ватт на квадратный сантиметр.) Кроме того, равномерное распределение освещенности излучения накачки по торцевой поверхности активного кристалла способствует получению на выходе из квантового усилителя лазерного импульса дифракционной расходимости.
В наиболее простом варианте фокусирующее устройство (положительная линза или вогнутое зеркало) просто собирает излучение лазера накачки на торцевой поверхности активного элемента (см. рис.1а). Если распределение освещенности, формируемое таким образом, не достаточно равномерно, то используют дополнительные оптические элементы-гомогенизаторы, нужным образом перемешивающие излучение (см. рис.1б). В качестве гомогенизаторов обычно используют разные светорассеивающие элементы: фацетированные зеркала [3], микролинзовые матрицы [1–6], хаотические фазовые экраны [6, 7] и другие. Подобные светорассеивающие элементы используются также для равномерного освещения мишени в установках для ввода излучения в световолоконный жгут [6] или для изучения лазерного термояда [7].
Светорассеивающие элементы широко используются и в традиционной оптике. Фацетированные зеркала позволяют устранить раздражающую глаз "пятнистость" излучения в медицинских осветителях [8, 9]. Микролинзовые фокусировочные экраны фирмы "Минольта" и квазилинзовые, так называемые "лазерные", фокусировочные экраны фирмы "Канон" повышают светосилу и точность фокусировки видоискателей зеркальных фотоаппаратов [10, 11].
Для расчета профиля микронеровностей гомогенизатора используем тот же метод, что и для расчета профиля микронеровностей фокусировочного экрана видоискателя зеркального фотоаппарата [10, 11].
Оптимальная индикатриса гомогенизатора
В идеале безаберрационная фокусирующая линза (или сферическое зеркало) с фокусом f концентрирует проходящий через нее параллельный лазерный пучок в световую точку δ(xf, yf) на задней фокальной плоскости. Однако реальный пучок обладает угловой расходимостью и поэтому, после прохождения безаберрационной линзы, световая точка в задней фокальной плоскости расплывется и превращается в световое пятно вида τ(xf, yf) [см. рис.1а). Это световое пятно можно расширить и сгладить, если перед фокусирующей системой поместить гомогенизатор (рис.1б). Влияние гомогенизатора на форму светового пятна описывается сверткой:
...................
где h(x*–xf, y*–yf) – функция рассеяния точки (ФРТ) фокусирующей системы.
Поместим в задней фокальной плоскости линзы апертурную диафрагму с распределением τo(x*,y*) – торец кристалла Ti-Sapphire. В этом случае полезный поток излучения F, то есть поток, насыщающий активный кристалл усилителя, вычисляется по формуле
...................
Заметим, что это выражение можно записать в виде скалярного произведения
....................
где
....................
корреляционная функция от τ(xf, yf) и τo(x*,y*), а ξ ≡ x* – xf, η ≡ y* – yf .
Скалярное произведение векторов (в частности, бесконечномерных векторов-функций) максимально, когда они параллельны, поэтому интересующий нас поток излучения максимален, если ФРТ оптической системы сопряжения h(ξη,) и корреляционная функция апертур cov(τ, τo)(ξ, η) (рис.2a) пропорциональны:
h(ξ,η) ~ cov(τ,τo)(ξ, η). (1)
Именно такая форма ФРТ фокусирующей оптической системы h(ξ,η) обеспечивает максимально равномерное и энергетически эффективное освещение торцевой поверхности кристалла Ti-Sapphire.
Естественно предположить, что исходное световое пятно в фокальной плоскости оптической системы τ(xf ,yf) имеет форму круга радиуса r:
...........................
Торец кристалла Ti-Sapphire цилиндрической формы τo(x*,y*) также имеет форму круга, но уже радиуса R:
.........................
В этом случае (см. рис.2б) корреляционная функция cov(τ,τo)(ξ, η) имеет вид усеченного конуса с круглыми основаниями диаметрами r+R и r–R (рис.2в). Согласно формуле (1), ту же форму должна иметь и оптимальная ФРТ оптической системы сопряжения.
Если же r << R, то хорошим инженерным приближением для оптимальной индикатрисы (1) является выражение
h(ξ,η) ~ circR-r(ξ,η).
(Этот результат позволил обосновать форму оптимальной индикатрисы светорассеяния матовых экранов зеркальных фотоаппаратов [10,11].)
Приближение однократного рассеяния
Гомогенизатор – это оптическая поверхность, на которой регулярно с неким периодом (или хаотически) расположены элементарные рассеиватели: микролинзы, микрозеркала, дифракционные элементы и другие. Предположим, что элементарные рассеиватели распределены по поверхности гомогенизатора регулярно с периодичностью d при квадратичной или гексагональной упаковке. В случае квадратичной упаковки рассеивателей на поверхности комплексная функция пропускания гомогенизатора описывается сверткой комплексной функции элементарного рассеивателя и соответствующей решетки с периодом d:
......................
Упростим рассматриваемую оптическую схему (см. рис.1b), предположив, что гомогенизатор расположен в передней фокальной плоскости фокусирующей оптической системы с фокусным расстоянием l = f. Выберем систему единиц так, чтобы длина волны излучения λ была равна 2π. В этом случае комплексная функция пропускания гомогенизатора U(x0,y0) и распределение комплексной амплитуды в задней фокальной плоскости фокусирующего элемента связаны преобразованием Фурье:
........................
где
........................
является двумерным преобразованием Фурье.
Согласно теореме о свертке, подставляя в формулу (3) выражение (2), получим, что распределение комплексной амплитуды в задней фокальной плоскости фокусирующего элемента есть произведение Фурье образа дифракционной решетки и Фурье образа элементарного рассеивателя:
........................
При этом [12]
.......................
Если период дифракционной решетки d достаточно велик, то расстояние между дифракционными максимумами мало и ее влиянием можно пренебречь. В этом случае, а также при нерегулярном, хаотическом распределении элементарных центров рассеяния, влиянием соседних элементарных рассеивателей можно пренебречь. Это приближение однократного рассеяния, при котором вторым сомножителем в формуле (4) можно пренебречь:
........................
Квадрат распределения комплексной амплитуды и есть интересующая нас ФРТ оптической системы:
........................
Эффективно-точечный источник
В работах [13, 14] показано, что в приближении однократного рассеяния ФРТ оптической системы сопряжения создается размещенным в задней узловой точке N’ "эффективным точечным источником" с той же индикатрисой (диаграммой направленности), что и индикатриса элементарного рассеивателя гомогенизатора (рис.3). Таким образом, ФРТ оптической системы сопряжения h(x*–xf, y*–yf ) связана с индикатрисой элементарного рассеивателя I(θ) в направлении θ "законом обратных квадратов" и "законом cos3" [13]:
.......................
где
.......................
Из этой формулы, зная оптимальную ФРТ оптической системы сопряжения, можно вычислить оптимальную индикатрису элементарного рассеивателя I(θ).
Проанализируем возможность изготовления гомогенизатора с оптимальной индикатрисой светорассеяния I(θ). Гомогенизатор представляет собой оптический элемент, преломляющая или отражающая поверхность которого имеет микронеровности в виде чередующихся выступов и впадин. Для получения гомогенизатора с оптимальной индикатрисой максимальный угол отклонения выступов и впадин от опорной поверхности не должен превышать угол α для преломляющей поверхности и угол β для отражающей поверхности (рис.4a и 4б). Эти углы связаны с радиусом R торцевой поверхности кристалла Ti-Sapphire и радиусом r светового пятна в фокальной плоскости безаберрационной фокусировочной линзы с фокусом f соотношениями [11]:
.......................
где n – показатель преломления среды, из которой изготовлен прозрачный гомогенизатор.
Отметим, что, учитывая желаемую круговую симметрию ФРТ, светорассеивающие микронеровности лучше размещать по поверхности гомогенизатора в виде концентрических окружностей или по спирали. Кроме того, такое размещение микронеровностей повысит пропускание гомогенизатора.
Показано, что для расчета профиля светорассеивающих микронеровностей гомогенизатора для УКИ можно использовать тот же метод, что и для расчета профиля светорассеивающих микронеровностей матового фокусировочного экрана зеркального фотоаппарата.
Литература
1. Canova F., Chambaret J.-P. Reversat F. et al. Pump beams homogenization for Terawatt/Petawatt class Ti-Sapphire amplifiers. – International Conference on Ultrahigh Intensity Lasers Development, Science and Emerging Applications (ICUIL 043) 2006 in Cassis (France)), 09H30–09H45, http://www.popsud.org/icuil2006/Program.php
2. Chawdhury E.A., Ongadi G., Walker B.C. et al. Micro-Optic Spatial Mode Conversion for Terawatt Class Amplifiers. – Conference on Lasers and Electro-Optics. – Quantum Electronics and Laser Science Conference (CLEO/QELS), 2003 Proceeding.
3. Kalachnikov M.P., Karpov V., Schoennagel H. Sandner Wl. 100-terawatt titanium-sapphire laser system. – Laser Physics, 2002, 12 (2).
4. Voelkel R., Herzig H. P., Nussbaum P., Daendliker R. Microlens array imaging system for photolithography. – Optical Engineering, 1996, 45 (11).
5. Voelkel R., Zimmerman M. Homogenisierung von Laserstrahlen. – Photonik, 2006, 3.
6. Kopp C. Revel L., Meyrueis P. Efficient beamshaper homogenizer design combining diffractive optical elements, microlens, and random phase plate. – J.Opt.A: Pure and Applied Optic,1999, 1.
7. Kato Y., Mims K., Miyanaga N. et al. Random Phasing of High-Power Laser for Uniform Taget Acceleration and Plasma-Instability Suppression. – Physical Review Letters, 1984, 53 (11).
8. Гитин А.В. К расчету световых приборов с фацетными отражателями. – Cветотехника,1994, №7.
9. Гитин А.В. Расчет зеркальных отражателей "методом развертки". – Оптический журнал,1996, № 3.
10. Гитин А. В. Метод энергетического расчета видоискателя зеркального фотоаппарата с матовым фокусировочным экраном. – ОМП, 1989, № 7.
11. Гитин А.В., Дудников Ю.А., Кудрявцев В.В., и др. Матовый фокусировочный экран с квазиоптимальной индикатрисой. – Вестник Ноу-Хау, 1993, №5. Вып.7.
12. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. – М.: Мир, 1971.
13. Гитин А. В. Радиометрия как раздел теории оптических систем. – Оптика и спектроскопия, 1987, 63 (1).
14. Гитин А.В. Эффективно-точечный источник. – Оптика и спектроскопия, 1994, 76 (1) .
Отзывы читателей
