eng
Выпуск #2/2011
Е.Макарецкий, А.Овчинников
Устройства фильтрации оптических сигналов на основе многослойных структур
Устройства фильтрации оптических сигналов на основе многослойных структур
Просмотры: 5081
В конце 1970-х годов появились и прочно заняли свое место среди оптических методов измерений радиооптические системы, использующие углоизбирательные свойства резонансных многослойных оптических структур (РМОС) [1]. Сегодня на основе РМОС разработаны высокоточные измерители угловых колебаний объектов, расходимости лазерного излучения, диаметров волоконных световодов, угломеры, измерители давления и акустических колебаний [2, 3].
Теги: filter synthesis radiooptics random signals filtration радиооптика синтез фильтров фильтрация случайных сигналов
Многослойные оптические структуры (рис.1) представляют собой систему из чередующихся слоев с различными оптическими параметрами. В условиях, когда некоторые из слоев работают в режимах, близких к полному внутреннему отражению (ПВО) или нарушенному ПВО, многослойные структуры обладают резкой зависимостью оптического пропускания (отражения) от угла падения излучения. При этом угловая полоса пропускания подобных структур может составлять десятые и даже сотые доли угловой секунды [1]. Использование углоизбирательных свойств многослойных структур позволило создать целый класс прецизионных радиооптических измерительных систем.
Один из факторов, ограничивающих предельное разрешение радиооптических измерительных систем, – это наличие естественных или искусственных помех в измерительном канале. Понятно, что это приводит к искажениям амплитудно-фазового распределения (АФР) интерференционной картины в РМОС, снижению ее контраста и, как следствие, росту погрешности определения разности фаз оптических пучков. Поэтому необходимо вводить пространственно-временную фильтрацию оптического излучения в измерительной системе.
Существующие когерентные системы пространственной фильтрации представляют собой достаточно сложные устройства: они имеют большие массогабаритные параметры и требуют юстировки. Оптимальным решением данной проблемы станет система пространственной фильтрации оптических сигналов на основе многослойных оптических структур, работающих в режиме угловой фильтрации.
Возможности метода резонансной угловой фильтрации
Решение задач фильтрации оптических сигналов состоит в выделении информационного оптического сигнала на фоне случайных помех и шумов. Основными элементами оптических информационно-измерительных систем, позволяющими произвести фильтрацию, являются согласованные или оптимальные фильтры. Синтез подобных устройств может осуществляться тремя следующими способами [4]:
Синтез согласованных фильтров
Под согласованными фильтрами (СФ) обычно понимают временные, пространственно-частотные или угловые фильтры, обеспечивающие оптимальный прием сигналов с известным законом изменения во времени (пространстве), но с неизвестными параметрами на фоне белого шума. Передаточная функция согласованного фильтра комплексно сопряжена со спектром входного сигнала:
, (1)
где h (p) – передаточная функция согласованного фильтра; S(p) – спектр входного сигнала.
Синтез оптимальных фильтров
Под оптимальными фильтрами обычно понимают устройства, обеспечивающие оптимальное обнаружение и измерение параметров сигналов известной формы с неизвестными параметрами на фоне помех и шумов с неравномерной спектральной плотностью. Математическая модель синтеза подобных фильтров, записанная по аналогии с временной формой, имеет вид [5]:
, (2)
где h(x,y) – импульсная характеристика оптимального фильтра; B(x,y) – корреляционная функция помехи-шума; S(x,y) – входной сигнал; x0, y0 связаны с положением полезного сигнала относительно начала координат; a, b, c, d – координаты границ пространственного сигнала по осям x и y соответственно.
Оптимальная фильтрация случайных процессов
Этот способ заключается в отыскании алгоритма преобразования входного сигнала, состоящего из случайного информационного сигнала и помехи-шума с известными корреляционными функциями, обеспечивающего минимум дисперсии ошибки фильтрации.
Математическая модель оптимальной фильтрации во временной области выражается интегральным уравнением Винера-Хопфа [4]:
, (3)
где Bx(t)– корреляционная функция входного сигнала; Bsx(t)– корреляционная функция информационного сигнала; h(t)– импульсная характеристика одномерного фильтра Винера.
В общем случае возможны два основных направления применения методов резонансной угловой фильтрации для решения задач синтеза оптимальных фильтров:
– использование метода физического моделирования для решения интегральных уравнений синтеза (2) и (3), аналитическое решение которых в общем случае затруднено;
– физическая реализация пространственно-угловых согласованных и оптимальных фильтров на основе РМОС.
Синтез пространственно-угловых согласованных фильтров
Параметры пространственно-угловых согласованных фильтров могут быть определены методами, аналогичными используемым для временных фильтров:
– импульсная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя и сдвига в пространстве является зеркальным отражением в пространстве информационного пространственного сигнала, то есть
; (4)
– спектральная характеристика согласованного фильтра определяется как комплексно-сопряженная относительно изображения входного сигнала, т. е.
. (5)
В общем случае импульсная характеристика пространственного согласованного фильтра является двумерной, т.е. функцией переменных x и y. Для большинства информационных сигналов возможна факторизация – сигнал представляется в виде произведения двух функций одной переменной, что позволяет раздельно определить характеристики двумерного согласованного фильтра по осям x и y и свести синтез двумерного фильтра к одномерным задачам.
Оптимальный приемник пространственных сигналов с регулярным согласованным фильтром на основе РМОС (рис.2) включает непосредственно согласованный фильтр 1 с импульсной характеристикой h(x,y); сканирующий фотоприемник 2 и пороговое устройство 3. На выходе согласованного фильтра формируется сигнал, содержащий информацию о корреляционных функциях сигнала и помехи. Сканирующий фотоприемник определяет координату максимума корреляционной характеристики, а пороговое устройство выделяет корреляционный пик полезного сигнала.
Поскольку импульсная характеристика согласованного фильтра жестко связана с АФР пространственного сигнала, регулярные РМОС позволяют реализовать согласованные фильтры только для небольшого числа входных сигналов.
Рассмотрим несколько примеров синтеза согласованных фильтров.
Пример 1. Синфазный нарастающий экспоненциальный пространственный сигнал вида A(x)=A0eβx, x≥0.
В соответствии с выражением (5) спектральная характеристика согласованного фильтра должна иметь следующий вид:
. (6)
Спектральной характеристикой, аналогичной (6) с точностью до постоянного множителя, обладают правосторонние полосно-пропускающие РМОС с постоянной длины L0=1/b [1]. Следовательно, для синфазного экспоненциального нарастающего сигнала согласованным фильтром является правосторонняя полосно-пропускающая РМОС (рис.3а).
Аналогичное рассмотрение для спадающего экспоненциального сигнала показывает, что согласованным фильтром для него является левосторонняя полосно-пропускающая РМОС (рис.3б).
Пример 2. Синфазный двусторонний экспоненциальный пространственный сигнал вида A(x)=A0[e-β1xσ(x-0)+ eβ2xσ(0-x).
Спектральная характеристика согласованного фильтра для данного сигнала в соответствии с (5) приобретает вид:
. (7)
Согласованным фильтром для двустороннего экспоненциального сигнала является в общем случае несимметричная двусторонняя РМОС (рис.4), обладающая спектральной характеристикой (7).
Согласованные фильтры на основе нерегулярных структур (с изменяющимися в пространстве параметрами) обладают большими возможностями по сравнению с регулярными устройствами, поскольку могут быть синтезированы практически для любых АФР входных сигналов. Однако нерегулярные РМОС не являются пространственно-инвариантными устройствами и структурная схема оптимального приемника отличается от приведенной ранее. Оптимальный приемник (рис.5) содержит матрицу нерегулярных согласованных фильтров (НСФ) или устройство пространственного сканирования.
В первом случае (рис.5а) сканирующий фотоприемник анализирует АФР поля на выходе матричного нерегулярного согласованного фильтра и определяет координаты максимума корреляционной функции. Во втором случае (рис.5б) пространственное сканирующее устройство смещает входное АФР по апертуре НСФ и на выходе интегрирующего ФП формируется временной сигнал, описывающий корреляционную функцию входного сигнала.
Синтез пространственно-угловых оптимальных фильтров
Оптимальные пространственно-угловые фильтры можно представить в виде последовательного соединения двух звеньев. Первое из них играет роль рассмотренного ранее согласованного фильтра, обеспечивая преимущественное пропускание спектральных угловых составляющих, представленных в спектре полезного сигнала. Второе звено является помехоподавляющим. Степень подавления каждой из угловых спектральных составляющих фона в этом звене обратно пропорциональна их интенсивности в спектре помехи на входе. Благодаря этому помехоподавляющий фильтр производит выравнивание спектра фона, приводя его к белому шуму. Роль этого звена тем больше, чем больше радиус корреляции фона.
Как отмечалось, общая математическая модель для синтеза оптимальных фильтров – это интегральное уравнение (2). Задача синтеза значительно упрощается при переходе в уравнении (2) к бесконечным пределам интегрирования, что позволяет использовать преобразования Фурье и Лапласа для получения решения в явном виде. Однако подобные фильтры будут квазиоптимальными, поскольку не учитывают ограниченность реальных пространственных сигналов.
Спектральная характеристика квазиоптимального пространственно-углового фильтра h(p) может быть определена на основе анализа прохождения полезного сигнала A(x) и помехи-шума N(x) через РМОС.
Изображения сигнала A(p) корреляционной функции помехи N(p) и спектральной характеристики квазиоптимального фильтра h(p) могут быть представлены в виде дробно-рациональных функций: А(р)=b(p)/g(p); N(p)=n(p)/m(p); h(p)=B(p)/G(p), где степени многочленов в числителях меньше или равны степеням соответствующих многочленов в знаменателях.
Выражение Aвых(р)=A(p)h(p)=[b(p)B(p)]/[g(p)G(p)] описывает спектр полезного сигнала на выходе фильтра. Максимальное пропускание полезного сигнала будет иметь место в том случае, если выходной спектр вещественный, т.е. все угловые спектральные составляющие синфазные, что соответствует сопряженности корней g(p) и G(p). Максимальное подавление помехи, прохождение которой через систему описывает выражение Nвых(p)=N(p)h(p)=[n(p)B(p)]/[m(p)G(p), соответствует случаю, когда спектральные составляющие помехи совпадают с корнями спектральной характеристики фильтра, т.е. B(pj) = m(pj) .
С учетом вышесказанного, спектральная характеристика квазиоптимального фильтра, который сможет обеспечить одновременно и максимальное пропускание полезного сигнала, и максимальное подавление помехи, должна иметь вид:
h(p)=m(p)/g*(p). Но синтез фильтров по данной методике часто не дает единственного решения, поскольку полиномы B(p) и G(p) могут иметь дополнительные корни, т. е. их порядок может быть выше, чем порядок полиномов g(p) и m(p) соответственно. Поэтому общее решение может быть представлено в виде:
h(p) = [m(p)B1(p)]/[g*(p)G1(p)], (8)
где полиномы B1(p) и G1(p) учитывают возможность существования дополнительных корней.
Синтезируем структуры квазиоптимальных фильтров для некоторых характерных случаев.
Пример 1. Входной сигнал типа синфазной
экспоненты A(x)=A0eβx, x≥0 на изотропном
фоне с функцией пространственной когерентности , где ρ0 – радиус когерентности.
Определив изображение полезного входного сигнала, спектр мощности помехи и, представив их в виде дробно-рациональных функций в соответствии с (8), определяем спектральную характеристику квазиоптимального фильтра:
h(p)=[2αГ0(α2-p2)B1(p)]/[(β+p)G1(p)], (9)
где .
Полиномы B1(p) и G1(p) необходимо выбрать таким образом, чтобы обеспечить общую степень полинома числителя не выше общей степени полинома знаменателя. Поэтому можно принять и при .
Общее изображение импульсной характеристики приобретает следующий вид:
(10)
В соответствии с уравнением (10) квазиоптимальный фильтр включает три последовательно включенных звена: правостороннюю полосно-пропускающую РМОС; правостороннюю несимметричную полосно-пропускающую РМОС в режиме отражения; левостороннюю несимметричную полосно-пропускающую РМОС в режиме отражения (рис.6).
Первое звено осуществляет накопление полезного сигнала, а второе и третье звенья выполняют помехоподавляющую функцию для изотропного фона.
Для спадающей экспоненты на изотропном фоне функциональная схема будет отличаться первым звеном (левосторонняя полосно-пропускающая РМОС).
Пример 2. Двусторонний синфазный экспоненциальный сигнал A(x)=A0e-β|x| на изотропном фоне.
Спектральная характеристика квазиоптимального фильтра, полученная аналогично предыдущему примеру, имеет вид:
h(p)=(α2-p2)/(β2-p2)=[(α-p)/(β+p)]×
×[(α+p)/(β-p)]=h1(p) h2(p). (11)
В соответствии с (11) квазиоптимальный фильтр включает в себя две полосно-пропускающие несимметричные РМОС в режиме отражения с противоположными направлениями фильтрации (рис.7) и определенными параметрами α и β. Каждое звено выполняет функции помехоподавления и накопления энергии полезного сигнала.
Рассмотренные примеры синтеза приведены для одномерного случая. Синтез двумерных оптимальных фильтров возможен для полезных сигналов, допускающих факторизацию.
Оптимальная фильтрация случайных пространственных сигналов
Для осуществления синтеза оптимальных фильтров случайных пространственных сигналов необходимо уточнить форму интегрального уравнения синтеза.
В отличие от временных процессов, ограниченных точкой начала отсчета и протекающих только в одном направлении, пространственные процессы принципиально могут протекать на бесконечном интервале по каждой координате в двух противоположных направлениях (системы с двусторонней памятью). В этом случае интегральное уравнение синтеза на бесконечном интервале имеет вид:
, (12)
где – функция когерентности случайного информационного сигнала; – функция когерентности смеси информационного сигнала и помехи-шума.
В одномерном случае интегральное уравнение синтеза имеет вид:
(13)
Поскольку функции, входящие в уравнение (13), в общем случае являются двусторонними, то уравнение (13) по форме можно отнести к интегральным уравнениям типа свертки с двумя ядрами.
С позиций теории резонансной угловой фильтрации уравнение (13) может быть интерпретировано следующим образом: при поступлении на вход оптимального фильтра двухстороннего сигнала , содержащего информационную и шумовую составляющие, на выходе присутствует только первая составляющая. Это возможно, если шумовой сигнал описывается “непроходящей” функцией для импульсной характеристики фильтра h(x). При известной корреляционной функции помехи это позволяет исходно синтезировать структуру оптимального фильтра. Алгоритм синтеза фильтра имеет следующий вид:
– по известным оригиналам функций когерентности полезного сигнала и помехи N(x) определяются изображения Гс(p) и N (p);
– определяется изображение смеси сигналов
ГΣ (p) = Гс(p) + N(p);
– вычисляется спектральная характеристика фильтра h(p)= Гс(p)/ГΣ (p);
– по известной спектральной характеристике фильтра, используя двустороннее преобразование Лапласа, определяется его импульсная характеристика h(x).
Экспериментальные исследования помехоподавляющих свойств РМОС
Для экспериментальной оценки помехоподавляющих свойств многослойных оптических структур в режиме резонансной угловой фильтрации была разработана методика формирования случайных оптических пространственных сигналов с заданной корреляционной функцией. Согласно методике, модель одномерного шумового пространственного сигнала – это чередование контрастных участков маски. Размеры (ширина) участков определяются видом функции и радиусом корреляции сигнала (рис.8).
Наиболее характерны для оптических систем помехи типа «изотропный фон» и «рассеянное когерентное излучение». Данные виды помех обладают сходными спектрами мощности, которые различаются количественно, но не качественно. Поэтому в ходе проведения эксперимента синтезировались сигналы с корреляционной функцией вида K(x)=A×exp[-(λ+µ)×|x|], где λ, µ – параметры, характеризующие время пребывания системы в каждом из двух состояний, соответствующих помехе типа “изотропный фон”, состоящие из 31 и 51 полосы.
Нормированные и совмещенные по максимуму графики усредненного синтезированного пространственного энергетического спектра случайного оптического сигнала из 31 и 51 полосы, пространственного энергетического спектра исходного входного оптического излучения и теоретического спектра приведены на рис. 9 и 10. Анализ рисунков показывает, что спектры синтезированных сигналов совпадают с теоретическими спектрами. Нерегулярная структура усредненного энергетического спектра является результатом того, что сигнал сформирован из небольшого количества полос случайных размеров и шага, которые являются «отдельными» излучателями.
Исследование прохождения случайных сигналов через многослойные структуры проводилось на установке, схема которой представлена на рис.11. На рис. 12–14 приведены усредненные по реализациям угловые энергетические спектры сигналов на входе и выходе фильтров. Анализируя их, становится понятно, что многослойные структуры подавляют шумовую составляющую в оптическом сигнале. Коэффициент подавления шума достигает 12–18 дБ для односторонних структур (в зависимости от пространственного положения точки измерения) и 18–21 дБ для однорезонансных систем.
Таким образом, была экспериментально подтверждена возможность создания многослойных оптических структур, одновременно выполняющих как функции первичных преобразователей, так и помехоподавляющих звеньев оптических систем и устройств.
В заключение необходимо отметить, что пространственные системы фильтрации, построенные на основе регулярных резонансных многослойных оптических структур, реализованы для ограниченного числа оптических сигналов. Подобные структуры нашли применение в системах для прецизионного измерения непрямолинейности труб (в частности, стволов орудий и стрелкового вооружения), неплоскостности направляющих станков и в других задачах. Технологии систем пространственной фильтрации на основе нерегулярных РМОС совершенствуются. Их применение позволит улучшить качественные характеристики измерительных систем.
Литература
1. Соколовский И., Покровский Ю. Прикладная радиооптика. Теория и методы резонансной угловой фильтрации. – Киев: Наукова думка, 1986.
2. Макарецкий Е., Овчинников А. Оптоэлектронный дистанционный измеритель давления. – Компоненты и технологиию. 2006, №10,
3. Методы аналитического синтеза информационно-измерительных и информационно-управляющих устройств и систем с двухсторонней памятью: Монография / Васин С., Покровский Ю., Макарецкий Е. – Тула, ТулГУ, 1999.
4. Коростелев А. Пространственно-временная теория радиосистем. – М.: Радио и связь, 1987.
5. Макарецкий Е., Овчинников А. Оптимальные фильтры пространственных оптических сигналов на основе многослойных структур с резонансной угловой фильтрацией волновых полей. – Известия Тульского государственного университета. Радиотехника и радиооптика. – Тула, 2001, т. III, вып. 1.
Один из факторов, ограничивающих предельное разрешение радиооптических измерительных систем, – это наличие естественных или искусственных помех в измерительном канале. Понятно, что это приводит к искажениям амплитудно-фазового распределения (АФР) интерференционной картины в РМОС, снижению ее контраста и, как следствие, росту погрешности определения разности фаз оптических пучков. Поэтому необходимо вводить пространственно-временную фильтрацию оптического излучения в измерительной системе.
Существующие когерентные системы пространственной фильтрации представляют собой достаточно сложные устройства: они имеют большие массогабаритные параметры и требуют юстировки. Оптимальным решением данной проблемы станет система пространственной фильтрации оптических сигналов на основе многослойных оптических структур, работающих в режиме угловой фильтрации.
Возможности метода резонансной угловой фильтрации
Решение задач фильтрации оптических сигналов состоит в выделении информационного оптического сигнала на фоне случайных помех и шумов. Основными элементами оптических информационно-измерительных систем, позволяющими произвести фильтрацию, являются согласованные или оптимальные фильтры. Синтез подобных устройств может осуществляться тремя следующими способами [4]:
Синтез согласованных фильтров
Под согласованными фильтрами (СФ) обычно понимают временные, пространственно-частотные или угловые фильтры, обеспечивающие оптимальный прием сигналов с известным законом изменения во времени (пространстве), но с неизвестными параметрами на фоне белого шума. Передаточная функция согласованного фильтра комплексно сопряжена со спектром входного сигнала:
, (1)
где h (p) – передаточная функция согласованного фильтра; S(p) – спектр входного сигнала.
Синтез оптимальных фильтров
Под оптимальными фильтрами обычно понимают устройства, обеспечивающие оптимальное обнаружение и измерение параметров сигналов известной формы с неизвестными параметрами на фоне помех и шумов с неравномерной спектральной плотностью. Математическая модель синтеза подобных фильтров, записанная по аналогии с временной формой, имеет вид [5]:
, (2)
где h(x,y) – импульсная характеристика оптимального фильтра; B(x,y) – корреляционная функция помехи-шума; S(x,y) – входной сигнал; x0, y0 связаны с положением полезного сигнала относительно начала координат; a, b, c, d – координаты границ пространственного сигнала по осям x и y соответственно.
Оптимальная фильтрация случайных процессов
Этот способ заключается в отыскании алгоритма преобразования входного сигнала, состоящего из случайного информационного сигнала и помехи-шума с известными корреляционными функциями, обеспечивающего минимум дисперсии ошибки фильтрации.
Математическая модель оптимальной фильтрации во временной области выражается интегральным уравнением Винера-Хопфа [4]:
, (3)
где Bx(t)– корреляционная функция входного сигнала; Bsx(t)– корреляционная функция информационного сигнала; h(t)– импульсная характеристика одномерного фильтра Винера.
В общем случае возможны два основных направления применения методов резонансной угловой фильтрации для решения задач синтеза оптимальных фильтров:
– использование метода физического моделирования для решения интегральных уравнений синтеза (2) и (3), аналитическое решение которых в общем случае затруднено;
– физическая реализация пространственно-угловых согласованных и оптимальных фильтров на основе РМОС.
Синтез пространственно-угловых согласованных фильтров
Параметры пространственно-угловых согласованных фильтров могут быть определены методами, аналогичными используемым для временных фильтров:
– импульсная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянного множителя и сдвига в пространстве является зеркальным отражением в пространстве информационного пространственного сигнала, то есть
; (4)
– спектральная характеристика согласованного фильтра определяется как комплексно-сопряженная относительно изображения входного сигнала, т. е.
. (5)
В общем случае импульсная характеристика пространственного согласованного фильтра является двумерной, т.е. функцией переменных x и y. Для большинства информационных сигналов возможна факторизация – сигнал представляется в виде произведения двух функций одной переменной, что позволяет раздельно определить характеристики двумерного согласованного фильтра по осям x и y и свести синтез двумерного фильтра к одномерным задачам.
Оптимальный приемник пространственных сигналов с регулярным согласованным фильтром на основе РМОС (рис.2) включает непосредственно согласованный фильтр 1 с импульсной характеристикой h(x,y); сканирующий фотоприемник 2 и пороговое устройство 3. На выходе согласованного фильтра формируется сигнал, содержащий информацию о корреляционных функциях сигнала и помехи. Сканирующий фотоприемник определяет координату максимума корреляционной характеристики, а пороговое устройство выделяет корреляционный пик полезного сигнала.
Поскольку импульсная характеристика согласованного фильтра жестко связана с АФР пространственного сигнала, регулярные РМОС позволяют реализовать согласованные фильтры только для небольшого числа входных сигналов.
Рассмотрим несколько примеров синтеза согласованных фильтров.
Пример 1. Синфазный нарастающий экспоненциальный пространственный сигнал вида A(x)=A0eβx, x≥0.
В соответствии с выражением (5) спектральная характеристика согласованного фильтра должна иметь следующий вид:
. (6)
Спектральной характеристикой, аналогичной (6) с точностью до постоянного множителя, обладают правосторонние полосно-пропускающие РМОС с постоянной длины L0=1/b [1]. Следовательно, для синфазного экспоненциального нарастающего сигнала согласованным фильтром является правосторонняя полосно-пропускающая РМОС (рис.3а).
Аналогичное рассмотрение для спадающего экспоненциального сигнала показывает, что согласованным фильтром для него является левосторонняя полосно-пропускающая РМОС (рис.3б).
Пример 2. Синфазный двусторонний экспоненциальный пространственный сигнал вида A(x)=A0[e-β1xσ(x-0)+ eβ2xσ(0-x).
Спектральная характеристика согласованного фильтра для данного сигнала в соответствии с (5) приобретает вид:
. (7)
Согласованным фильтром для двустороннего экспоненциального сигнала является в общем случае несимметричная двусторонняя РМОС (рис.4), обладающая спектральной характеристикой (7).
Согласованные фильтры на основе нерегулярных структур (с изменяющимися в пространстве параметрами) обладают большими возможностями по сравнению с регулярными устройствами, поскольку могут быть синтезированы практически для любых АФР входных сигналов. Однако нерегулярные РМОС не являются пространственно-инвариантными устройствами и структурная схема оптимального приемника отличается от приведенной ранее. Оптимальный приемник (рис.5) содержит матрицу нерегулярных согласованных фильтров (НСФ) или устройство пространственного сканирования.
В первом случае (рис.5а) сканирующий фотоприемник анализирует АФР поля на выходе матричного нерегулярного согласованного фильтра и определяет координаты максимума корреляционной функции. Во втором случае (рис.5б) пространственное сканирующее устройство смещает входное АФР по апертуре НСФ и на выходе интегрирующего ФП формируется временной сигнал, описывающий корреляционную функцию входного сигнала.
Синтез пространственно-угловых оптимальных фильтров
Оптимальные пространственно-угловые фильтры можно представить в виде последовательного соединения двух звеньев. Первое из них играет роль рассмотренного ранее согласованного фильтра, обеспечивая преимущественное пропускание спектральных угловых составляющих, представленных в спектре полезного сигнала. Второе звено является помехоподавляющим. Степень подавления каждой из угловых спектральных составляющих фона в этом звене обратно пропорциональна их интенсивности в спектре помехи на входе. Благодаря этому помехоподавляющий фильтр производит выравнивание спектра фона, приводя его к белому шуму. Роль этого звена тем больше, чем больше радиус корреляции фона.
Как отмечалось, общая математическая модель для синтеза оптимальных фильтров – это интегральное уравнение (2). Задача синтеза значительно упрощается при переходе в уравнении (2) к бесконечным пределам интегрирования, что позволяет использовать преобразования Фурье и Лапласа для получения решения в явном виде. Однако подобные фильтры будут квазиоптимальными, поскольку не учитывают ограниченность реальных пространственных сигналов.
Спектральная характеристика квазиоптимального пространственно-углового фильтра h(p) может быть определена на основе анализа прохождения полезного сигнала A(x) и помехи-шума N(x) через РМОС.
Изображения сигнала A(p) корреляционной функции помехи N(p) и спектральной характеристики квазиоптимального фильтра h(p) могут быть представлены в виде дробно-рациональных функций: А(р)=b(p)/g(p); N(p)=n(p)/m(p); h(p)=B(p)/G(p), где степени многочленов в числителях меньше или равны степеням соответствующих многочленов в знаменателях.
Выражение Aвых(р)=A(p)h(p)=[b(p)B(p)]/[g(p)G(p)] описывает спектр полезного сигнала на выходе фильтра. Максимальное пропускание полезного сигнала будет иметь место в том случае, если выходной спектр вещественный, т.е. все угловые спектральные составляющие синфазные, что соответствует сопряженности корней g(p) и G(p). Максимальное подавление помехи, прохождение которой через систему описывает выражение Nвых(p)=N(p)h(p)=[n(p)B(p)]/[m(p)G(p), соответствует случаю, когда спектральные составляющие помехи совпадают с корнями спектральной характеристики фильтра, т.е. B(pj) = m(pj) .
С учетом вышесказанного, спектральная характеристика квазиоптимального фильтра, который сможет обеспечить одновременно и максимальное пропускание полезного сигнала, и максимальное подавление помехи, должна иметь вид:
h(p)=m(p)/g*(p). Но синтез фильтров по данной методике часто не дает единственного решения, поскольку полиномы B(p) и G(p) могут иметь дополнительные корни, т. е. их порядок может быть выше, чем порядок полиномов g(p) и m(p) соответственно. Поэтому общее решение может быть представлено в виде:
h(p) = [m(p)B1(p)]/[g*(p)G1(p)], (8)
где полиномы B1(p) и G1(p) учитывают возможность существования дополнительных корней.
Синтезируем структуры квазиоптимальных фильтров для некоторых характерных случаев.
Пример 1. Входной сигнал типа синфазной
экспоненты A(x)=A0eβx, x≥0 на изотропном
фоне с функцией пространственной когерентности , где ρ0 – радиус когерентности.
Определив изображение полезного входного сигнала, спектр мощности помехи и, представив их в виде дробно-рациональных функций в соответствии с (8), определяем спектральную характеристику квазиоптимального фильтра:
h(p)=[2αГ0(α2-p2)B1(p)]/[(β+p)G1(p)], (9)
где .
Полиномы B1(p) и G1(p) необходимо выбрать таким образом, чтобы обеспечить общую степень полинома числителя не выше общей степени полинома знаменателя. Поэтому можно принять и при .
Общее изображение импульсной характеристики приобретает следующий вид:
(10)
В соответствии с уравнением (10) квазиоптимальный фильтр включает три последовательно включенных звена: правостороннюю полосно-пропускающую РМОС; правостороннюю несимметричную полосно-пропускающую РМОС в режиме отражения; левостороннюю несимметричную полосно-пропускающую РМОС в режиме отражения (рис.6).
Первое звено осуществляет накопление полезного сигнала, а второе и третье звенья выполняют помехоподавляющую функцию для изотропного фона.
Для спадающей экспоненты на изотропном фоне функциональная схема будет отличаться первым звеном (левосторонняя полосно-пропускающая РМОС).
Пример 2. Двусторонний синфазный экспоненциальный сигнал A(x)=A0e-β|x| на изотропном фоне.
Спектральная характеристика квазиоптимального фильтра, полученная аналогично предыдущему примеру, имеет вид:
h(p)=(α2-p2)/(β2-p2)=[(α-p)/(β+p)]×
×[(α+p)/(β-p)]=h1(p) h2(p). (11)
В соответствии с (11) квазиоптимальный фильтр включает в себя две полосно-пропускающие несимметричные РМОС в режиме отражения с противоположными направлениями фильтрации (рис.7) и определенными параметрами α и β. Каждое звено выполняет функции помехоподавления и накопления энергии полезного сигнала.
Рассмотренные примеры синтеза приведены для одномерного случая. Синтез двумерных оптимальных фильтров возможен для полезных сигналов, допускающих факторизацию.
Оптимальная фильтрация случайных пространственных сигналов
Для осуществления синтеза оптимальных фильтров случайных пространственных сигналов необходимо уточнить форму интегрального уравнения синтеза.
В отличие от временных процессов, ограниченных точкой начала отсчета и протекающих только в одном направлении, пространственные процессы принципиально могут протекать на бесконечном интервале по каждой координате в двух противоположных направлениях (системы с двусторонней памятью). В этом случае интегральное уравнение синтеза на бесконечном интервале имеет вид:
, (12)
где – функция когерентности случайного информационного сигнала; – функция когерентности смеси информационного сигнала и помехи-шума.
В одномерном случае интегральное уравнение синтеза имеет вид:
(13)
Поскольку функции, входящие в уравнение (13), в общем случае являются двусторонними, то уравнение (13) по форме можно отнести к интегральным уравнениям типа свертки с двумя ядрами.
С позиций теории резонансной угловой фильтрации уравнение (13) может быть интерпретировано следующим образом: при поступлении на вход оптимального фильтра двухстороннего сигнала , содержащего информационную и шумовую составляющие, на выходе присутствует только первая составляющая. Это возможно, если шумовой сигнал описывается “непроходящей” функцией для импульсной характеристики фильтра h(x). При известной корреляционной функции помехи это позволяет исходно синтезировать структуру оптимального фильтра. Алгоритм синтеза фильтра имеет следующий вид:
– по известным оригиналам функций когерентности полезного сигнала и помехи N(x) определяются изображения Гс(p) и N (p);
– определяется изображение смеси сигналов
ГΣ (p) = Гс(p) + N(p);
– вычисляется спектральная характеристика фильтра h(p)= Гс(p)/ГΣ (p);
– по известной спектральной характеристике фильтра, используя двустороннее преобразование Лапласа, определяется его импульсная характеристика h(x).
Экспериментальные исследования помехоподавляющих свойств РМОС
Для экспериментальной оценки помехоподавляющих свойств многослойных оптических структур в режиме резонансной угловой фильтрации была разработана методика формирования случайных оптических пространственных сигналов с заданной корреляционной функцией. Согласно методике, модель одномерного шумового пространственного сигнала – это чередование контрастных участков маски. Размеры (ширина) участков определяются видом функции и радиусом корреляции сигнала (рис.8).
Наиболее характерны для оптических систем помехи типа «изотропный фон» и «рассеянное когерентное излучение». Данные виды помех обладают сходными спектрами мощности, которые различаются количественно, но не качественно. Поэтому в ходе проведения эксперимента синтезировались сигналы с корреляционной функцией вида K(x)=A×exp[-(λ+µ)×|x|], где λ, µ – параметры, характеризующие время пребывания системы в каждом из двух состояний, соответствующих помехе типа “изотропный фон”, состоящие из 31 и 51 полосы.
Нормированные и совмещенные по максимуму графики усредненного синтезированного пространственного энергетического спектра случайного оптического сигнала из 31 и 51 полосы, пространственного энергетического спектра исходного входного оптического излучения и теоретического спектра приведены на рис. 9 и 10. Анализ рисунков показывает, что спектры синтезированных сигналов совпадают с теоретическими спектрами. Нерегулярная структура усредненного энергетического спектра является результатом того, что сигнал сформирован из небольшого количества полос случайных размеров и шага, которые являются «отдельными» излучателями.
Исследование прохождения случайных сигналов через многослойные структуры проводилось на установке, схема которой представлена на рис.11. На рис. 12–14 приведены усредненные по реализациям угловые энергетические спектры сигналов на входе и выходе фильтров. Анализируя их, становится понятно, что многослойные структуры подавляют шумовую составляющую в оптическом сигнале. Коэффициент подавления шума достигает 12–18 дБ для односторонних структур (в зависимости от пространственного положения точки измерения) и 18–21 дБ для однорезонансных систем.
Таким образом, была экспериментально подтверждена возможность создания многослойных оптических структур, одновременно выполняющих как функции первичных преобразователей, так и помехоподавляющих звеньев оптических систем и устройств.
В заключение необходимо отметить, что пространственные системы фильтрации, построенные на основе регулярных резонансных многослойных оптических структур, реализованы для ограниченного числа оптических сигналов. Подобные структуры нашли применение в системах для прецизионного измерения непрямолинейности труб (в частности, стволов орудий и стрелкового вооружения), неплоскостности направляющих станков и в других задачах. Технологии систем пространственной фильтрации на основе нерегулярных РМОС совершенствуются. Их применение позволит улучшить качественные характеристики измерительных систем.
Литература
1. Соколовский И., Покровский Ю. Прикладная радиооптика. Теория и методы резонансной угловой фильтрации. – Киев: Наукова думка, 1986.
2. Макарецкий Е., Овчинников А. Оптоэлектронный дистанционный измеритель давления. – Компоненты и технологиию. 2006, №10,
3. Методы аналитического синтеза информационно-измерительных и информационно-управляющих устройств и систем с двухсторонней памятью: Монография / Васин С., Покровский Ю., Макарецкий Е. – Тула, ТулГУ, 1999.
4. Коростелев А. Пространственно-временная теория радиосистем. – М.: Радио и связь, 1987.
5. Макарецкий Е., Овчинников А. Оптимальные фильтры пространственных оптических сигналов на основе многослойных структур с резонансной угловой фильтрацией волновых полей. – Известия Тульского государственного университета. Радиотехника и радиооптика. – Тула, 2001, т. III, вып. 1.
Отзывы читателей
