eng
Выпуск #7/2023
А. Л. Соколов, В. М. Петров, В. Ю. Венедиктов, Д. Д. Решетников
Аксиально-симметричные пучки Эрмита-Гаусса и протокол ВВ84 на их основе для канала квантовой криптографии Космос-Земля
Аксиально-симметричные пучки Эрмита-Гаусса и протокол ВВ84 на их основе для канала квантовой криптографии Космос-Земля
Просмотры: 716
DOI: 10.22184/1993-7296.FRos.2023.17.7.542.555
В работе приводится описание системы передачи квантовой информации с помощью пучков Эрмита-Гаусса, образованных векторной суперпозицией мод Эрмита-Гаусса с индексами 10 и 01. Показано, что аксиальная поляризационная симметрия таких пучков, не чувствительная к поворотам относительно оптической оси, является предпочтительной для космических систем квантовой криптографии и может быть использована при модификации известного протокола ВВ84. Обсуждается возможность как создания, так и детектирования таких пучков для передачи поляризационного протокола при помощи четырех аксиально-симметричных поляризационных устройств на основе радиального поляризатора.
В работе приводится описание системы передачи квантовой информации с помощью пучков Эрмита-Гаусса, образованных векторной суперпозицией мод Эрмита-Гаусса с индексами 10 и 01. Показано, что аксиальная поляризационная симметрия таких пучков, не чувствительная к поворотам относительно оптической оси, является предпочтительной для космических систем квантовой криптографии и может быть использована при модификации известного протокола ВВ84. Обсуждается возможность как создания, так и детектирования таких пучков для передачи поляризационного протокола при помощи четырех аксиально-симметричных поляризационных устройств на основе радиального поляризатора.
Теги: axially symmetric polarization structure polarization protocol quantum cryptography radial polarizer spiral rotator аксиально-симметричная поляризационная структура квантовая криптография поляризационный протокол радиальный поляризатор спиральный вращатель
Аксиально-симметричные
пучки Эрмита-Гаусса и протокол ВВ84
на их основе для канала квантовой криптографии Космос-Земля
А. Л. Соколов 1, В. М. Петров 2, В. Ю. Венедиктов 3, Д. Д. Решетников 2
Научно-производственная корпорация «Системы прецизионного приборостроения» (АО «НПК «СПП»), Москва, Россия
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский электротехнический университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
В работе приводится описание системы передачи квантовой информации с помощью пучков Эрмита-Гаусса, образованных векторной суперпозицией мод Эрмита-Гаусса с индексами 10 и 01. Показано, что аксиальная поляризационная симметрия таких пучков, не чувствительная к поворотам относительно оптической оси, является предпочтительной для космических систем квантовой криптографии и может быть использована при модификации известного протокола ВВ84. Обсуждается возможность как создания, так и детектирования таких пучков для передачи поляризационного протокола при помощи четырех аксиально-симметричных поляризационных устройств на основе радиального поляризатора.
Ключевые слова: квантовая криптография, поляризационный протокол, аксиально-симметричная поляризационная структура, радиальный поляризатор, спиральный вращатель
Статья получена: 04.09.2023
Статья принята 13.10.2023
Введение
Развитие систем квантовой криптографии [1] обусловлено необходимостью защиты информации в современных коммуникационных сетях. Использование различных типов пространственно-структурированных пучков может быть одним из эффективных решений задачи по оптической передаче информации в реальных условиях турбулентности среды как по классическим, так и по квантовым каналам связи.
На сегодняшний день выполнен большой объем теоретических и экспериментальных работ в данной области, ежегодно публикуется большое количество статей. Так, например, исследовано влияние турбулентности атмосферного канала на распространение векторных пучков Лагерра-Гаусса и Бесселя-Гаусса и на пропускную способность канала [2, 3], продемонстрирована передача высших мод пучков Лагерра-Гаусса в реальных условиях городской турбулентности на расстояние 1,6 км с использованием длины волны 809 нм [4], экспериментально продемонстрирована скорость рассылки ключа со скоростью не менее 120 Мбит / с с использованием спектрального, поляризационного и мультиплексирования по орбитальному угловому моменту на длине волны 1550,12 нм (193,4 ТГц) [5]. В последнем примере имитация турбулентности атмосферы осуществлялась при помощи двух двумерных фазовых модуляторов света, обеспечивающих турбулентность, соответствующую величине параметра Рытова . Экспериментально продемонстрирована квантовая рассылка ключа через вихревое оптическое волокно длиной 60 м. В этом случае использовалась пара запутанных фотонов, получаемых в результате процесса спонтанного параметрического рассеяния на длине волны 405 нм [6]. Активно ведутся работы по исследованию распространения гауссовых и вихревых пучков в условиях атмосферной турбулентности на значительные расстояния до 1 000 м [7].
Особое место занимают задачи передачи информации на расстояния более тысячи километров с помощью низкоорбитальных космических аппаратов, оснащенных соответствующим оборудованием [8–11]. Если еще в 2017 году в работе [9] сообщалось о достигнутой скорости передачи ключа в «несколько килогерц» на спутник, находящийся на расстоянии 1 200 км от Земли, то в 2021 году уже сообщалось об «интегрированной волоконно-оптической и спутниковой сети» общей протяженностью 4 600 км и скоростью передачи секретного ключа на спутник со скоростью 47,8 кБит / с [10]. Отметим, что возможность использования в космических системах пучков с аксиально-симметричной поляризационной структурой, т. е. обладающих пространственной модуляцией поляризации в плоскости, ортогональной направлению распространения, в качестве базовых пучков, формирующих поляризационный криптографический, ключ показана в работе [11].
Практически во всех известных работах по квантовой рассылке ключа (КРК) в космосе применяется протокол ВВ84, использующий два базиса, каждый из которых содержит по два состояния фотона. В первом базисе фотон линейно поляризован вертикально или горизонтально (0° или 90°), во втором – фотон линейно поляризован диагонально (45° или 135°). Это, в частности, обусловлено неустойчивостью «фазовых» протоколов при распространении света в турбулентной атмосфере.
Вместе с тем необходимо отметить, что применение протокола ВВ84 с использованием базисов, основанных на линейной поляризации фотонов, для задач КРК для низкоорбитальных космических аппаратов имеет свои трудности, связанные с необходимостью в каждой момент времени фиксировать положение плоскости поляризации света как передающей, так и приемной системами на земле и в космосе. Анализ показывает, что в передающих оптико-лазерных системах состояние поляризации существенно изменяется для различных точек полусферы [12]. В случае поляризационного протокола это означает зависимость двух развернутых на 45° систем координат от взаимной ориентации передающего телескопа и космического аппарата.
Данную зависимость можно устранить, если использовать пучки с аксиально-симметричной поляризационной структурой [13–15].
Отдельными задачами является как получение пучков с заданной аксиальной поляризационной структурой, так и их детектирование. Способы их получения можно разделить на два основных: первый – это внутрирезонаторные методы, когда вместо основной моды лазера генерируются моды первого порядка [16, 17], и внерезонаторные методы с помощью дифракционных оптических элементов [18]. В [19] было показано, что пучки второго порядка образуются при отражении линейно поляризованного пучка от уголкового отражателя [20, 21], в частности, при наличии специального интерференционного покрытия граней, формируется оптический вихрь второго порядка. Задача детектирования пучков может быть решена или при помощи использования устройства, выполняющего роль радиального поляризатора [15], или при помощи устройства, аналогичному дифракционному сортеру, см., например, [22].
Цель настоящей работы – предложить реализацию известного протокола ВВ84 для космической системы передачи квантовой информации. Особенностью такой реализации должна быть ее инвариантность относительно поворота вокруг оси z, совпадающей с направлением распространения пучка.
1. Пучки
с аксиально-симметричной поляризационной структурой
В случае аксиально-симметричной поляризационной структуры, независимо от радиальной координаты в плоскости поперечного сечения пучка, каждому значению азимута соответствует определенная ориентация плоскости колебаний вектора , которая изменяется так, что при возвращении к исходному значению азимута эта плоскость совершает целое число оборотов. Поляризационно-симметричные структуры имеют по две модификации, в зависимости от направления поворота плоскости колебаний вектора .
Поляризационная структура этих пучков инвариантна к повороту относительно оси пучка: состояние поляризации сохраняется вдоль радиус-вектора r для произвольного азимутального угла ϕ (рис. 1).
В данной работе пучки с аксиально-симметричной поляризационной структурой предлагаются использовать при передаче квантовых ключей в космическом пространстве по протоколу ВВ84.
В табл. 1 показано, как формируются аксиально-симметричные структуры, составляющие набор для модифици-
рованного поляризационного протокола. Базовыми ортогональными поляризационными структурами поляризационного протокола явлются пучки, образованные векторной суперпозицией линейно-поляризованных мод Эрмита-Гаусса с индексами 10 и 01 (табл. 1). Это: радиальная поляризационная структура – вектор в каждой точке поперечной плоскости ориентирован вдоль радиуса (РП-пучок), азимутальная – вектор направлен в каждой точке по касательной к концентрическим окружностям (АП-пучок), и две ортогональные поляризационные структуры, обладающие аксиальной симметрией, которые развернуты на 45° относительно РП-пучка и АП-пучка: право-скрученная (ПСП-пучок) и левоскрученная (ЛСП-пучок). Векторы Джонса в табл. 1 записаны в цилиндрическом базисе, где ϕ – азимутальный угол.
Взаимодействие базовых пучков с радиальными поляризационными элементами удобно демонстрировать в специальном поляризационном (спиральном) базисе.
2. Спиральные базисы
Для удобства математических выкладок используем спиральные базисы, которые задаются с помощью двух матриц [8]:
(1)
где ϕ – азимутальный угол, отсчитываемый от так называемой нулевой полуоси, в направлении которой матрицы становятся единичными.
Матрица Р описывает переход вектора Джонса из декартова в спиральный P-базис, где соответствующий вектор Джонса будем обозначать индексом , а матрица N – в спиральный N-базис с индексом . Если нулевая полуось согласована с осью Х декартова базиса, то имеем:
, . (2)
Преобразование матрицы Джонса из декартового поляризационного базиса в матрицу в спиральном базисе и обратно осуществляется следующим образом:
. (3)
Собственными для спирального базиса являются поляризационные структуры РП-пучка и АП-пучка, у которых вектор вращается против часовой стрелки при изменении азимутального угла ϕ, при этом поляризационная структура не изменяется при поворотах осей координат.
При преобразовании из декартова базиса в спиральный -базис векторы Джонса данных пучков приобретают следующий вид:
(4)
Для N-базиса собственными являются поляризационные структуры с поворотом плоскости колебаний вектора по часовой стрелке. В этом случае поляризационная структура изменяется при повороте декартового базиса.
Векторы Джонса ПСП-пучка и ЛСП-пучка в спиральном базисе имеют вид:
(5)
3. Радиальный поляризатор и устройства на его основе
Необходимым устройством для реализации передачи квантового ключа, а именно для идентификации различных базовых состояний, является радиальный поляризатор (РП). Оси пропускания радиального поляризатора направлены вдоль поперечного радиуса . В азимутальном направлении, т. е. при ориентации вектора по касательным к концентрическим окружностям, пропускание равно нулю. Покажем, как РП может быть получен с помощью обычного линейного поляризатора, расположенного между двух спиральных вращателей [23].
Матрицы Джонса положительного P и отрицательного N спирального вращателя в декартовом базисе имеют вид:
(6)
где ϕ – азимутальный угол, отсчитываемый от горизонтальной оси Х декартова базиса в поперечном сечении пучка; α – угол, который составляет нулевую полуось спирального вращателя с осью Х.
Спиральные вращатели могут быть полярными или неполярными, в зависимости от того, изменяют ли они свой знак для обратной волны.
Пусть нулевая полуось двух спиральных вращателей разного знака совпадает с осью Х декартова базиса. Расположим идеальный линейный поляризатор между этими двумя вращателями так, что ось его наибольшего пропускания составляла угол β с осью Х. Матрица Джонса данного поляризационно-неоднородного устройства будет иметь следующий вид:
(7)
При β = 0 данное поляризационное устройство является радиальным поляризатором, который без потерь пропускает РП-пучок, вектор которого ориентирован вдоль поперечного радиуса (вектор Джонса ) и полностью поглощает АП-пучок с азимутальной поляризационной структурой (вектор Джонса ).
Радиальный поляризатор формирует из линейно поляризованного света пучок с радиальной поляризационной структурой, независимо от ориентации плоскости колебаний вектора – поляризационного азимута , однако при этом изменяется интенсивность пучка:
(8)
где вектор Джонса линейно поляризованного света записан в виде:
Потери в этом случае достигают 50%.
Из циркулярно-поляризованного света радиальный поляризатор формирует оптический вихрь с радиальной поляризационной структурой:
(9)
при этом потери равны 50%.
Если в (5) переставить местами спиральные вращатели, то получается уже гиперболический поляризатор, собственными состояниями поляризации которого являются векторы Джонса, у которых в отличие от РП-пучка и АП-пучка вектор вращается по часовой стрелке при увеличении азимутального угла
(10)
Если в (5) использовать полярные фарадеевские спиральные вращатели, то данное устройство будет представлять собой радиальный поляризатор для одного направления и гиперболический поляризатор для противоположного. Соответственно в одну сторону будет проходить без потерь , а в другую сторону – .
Матрица Джонса радиального поляризатора в спиральном P-базисе имеет вид:
. (11)
Соответственно матрица Джонса гиперболического поляризатора имеет аналогичный вид в спиральном N-базисе.
Радиальный поляризатор, развернутый на угол β, в спиральном базисе имеет вид
(12)
Кроме радиального поляризатора, для анализа криптографического ключа требуется иметь еще три устройства. Во-первых, это радиальный поляризатор, развернутый на 90°, или, другими словами, аксиальный поляризатор, который пропускает без потерь АП-пучок. Матрица Джонса этого устройства в спиральном базисе имеет вид
,
что соответствует подстановке в (12) β = 90°.
Радиальный поляризатор, развернутый на угол 45°, описывается в спиральном базисе матрицей Джонса:
. (13)
Данное поляризационное устройство полностью пропускает закрученный ПСП-пучок и полностью гасит ортогонально поляризованный ЛСП-пучок (4). Для двух других поляризационных структур (3) пропускание является частичным.
Заметим, что если применять устройство, состоящее из линейного поляризатора и двух спиральных вращателей (7), то, поворачивая линейный поляризатор на угол ±45°, мы получаем два устройства для пропускания ПСП-пучка и ЛСП-пучка.
Совокупное действие четырех поляризационно-неоднородных устройств на базовые состояния поляризации модифицированного квантового ключа иллюстрирует табл. 2.
4. Описание протокола
Положение плоскости колебаний вектора на выходе из оптико-лазерной системы изменяется в широких пределах. Это создает проблемы при определении ориентации базовой системы координат при передачи поляризационного ключа с земли на борт и обратно. Применение поляризационно-симметричных структур позволяет решить данную проблему.
В системе лазерной связи с квантовой криптографией по предлагаемому протоколу формируются четыре фотона из осесимметричных пучков четырех видов, показанных в табл. 2, с помощью четырех устройств с использованием радиального поляризатора в четырех ориентациях. В приемной части соответственно применяются такие же четыре поляризационных устройства.
Первое поляризационное устройство – радиальный поляризатор, который гасит АП-пучок и пропускает РП-пучок. В спиральном базисе имеем:
(14)
Второе поляризационное устройство – это радиальный поляризатор, развернутый на 90°, который гасит РП-пучок и пропускает АП-пучок. Данные воздействия описываются следующим образом:
(15)
Третье поляризационное устройство – это радиальный поляризатор, развернутый на 45°, который гасит ЛСП-пучок и пропускает ПСП-пучок. Имеем в спиральном базисе
(16)
Четвертое поляризационное устройство – это радиальный поляризатор, развернутый на –45°, который гасит ПСП-пучок и пропускает ЛСП-пучок. Имеем
(17)
Таким образом, нами показано, что применение пучков Эрмита-Гаусса с аксиально-симметричной поляризационной структурой является аналогичным известному протоколу ВВ84 в спиральном базисе, однако, предложенная практическая реализация обладает инвариантностью к повороту относительно оси распространения z.
Практическая реализация может быть осуществлена следующим образом. На входе оптико-лазерной системы наведения должен находиться узкополосный лазер и четвертьволновая пластинка для генерации света с круговой поляризацией. Такой свет независимо от ориентации телескопа передающей системы сохранит круговую поляризацию. На выходе из системы наведения необходимо расположить поляризационное устройство, которое формирует четыре базовых пучка с различной осесимметричной поляризационной структурой. Например, это может быть радиальный поляризатор между двух спиральных вращателей, который поворачивается в четыре положения или сортер. Важным условием является совпадение оптической оси пучка и радиального поляризатора. Этого можно достигнуть, используя систему наведения с соосным пучком, который обладает достаточной мощностью и возможно другой длиной волны, например, 532 нм, что удобно при юстировке системы. Заметим, что, кроме аксиально-симметричной поляризационной структуры, пучки на выходе буду обладать свойствами оптического вихря, поскольку, согласно (9), фазовая структура пучков изменяется пропорционально азимутальному углу. Как известно [24 и др.], оптические вихри обладают большей устойчивостью к флуктуациям атмосферы, чем обычный лазерный пучок.
Если лазер изначально генерирует РП-пучок, то достаточно применить поляризационный вращатель, например, фарадеевский, которые скручивает поляризационную структуру РП-пучка в АП-пучок, ПСП-пучок или ЛСП-пучок.
На космическом аппарате должно располагаться ответное устройство в виде вращающегося радиального поляризатора и соответствующий ретранслятор.
В качестве иллюстрации возможности генерации рассматриваемых здесь пучков на рис. 2 приведены полученные экспериментально изображения поперечного сечения пучка, прошедшего сквозь турбулентную среду, а также фрагмент интерференционной картины с изображением «вилки», что подтверждает факт наличия оптического вихря.
Обсуждение результатов
Предложенная в настоящей работе реализация протокола ВВ84 с использованием пучков, обладающих аксиальной симметрией состояния поляризации, инвариантна по отношению к повороту относительно оси распространения пучка, что делает ее устойчивой для случая даже существенного изменения состояния поляризации в различных точках небесной полусферы. Такая проблема является характерной для систем квантовой рассылки ключа в космосе через низкоорбитальные космические аппараты.
Практическая реализация пучков Эрмита-Гаусса с аксиально-симметричной поляризационной структурой не вызывает трудностей [16–19, 21]. Существенной на сегодняшний день, на наш взгляд, является проблема детектирования пучков в криптографических системах передачи информации. Важным этапом в этом смысле явилась бы практическая реализация спиральных поляризационных вращателей, например, на жидкокристаллических пленках, и, соответственно, радиальных поляризаторов. Существуют также возможности реализации таких устройств на основе «тонких» графеновых слоев [25–27] или электрических управляемых дифракционных решеток [28], или рефракционного биконического аксикона [29].
Концептуальная проблема реализации систем передачи квантовых ключей состоит в том, что принцип унитарности преобразования в квантовой оптике требует отсутствия оптических потерь в системе регистрации, поскольку ведет к потере состояния запутанности фотонов. Поэтому, строго говоря, такие устройства, как сортеры, дифракционные решетки и т. д., не могут быть использованы в системах с «истинным» источником фотонов. Однако до последнего времени в большинстве практических случаев в системах КРК в качестве источника фотонов используется высокостабильный узкополосный лазер (как, например, в [30, 31]), что снимает вопрос о потерях в системе регистрации отдельных фотонов.
АВТОРЫ
А. Л. Соколов, д. т. н., проф., руководитель направления, Научно-производственная корпорация «Системы прецизионного приборостроения» (АО «НПК «СПП»), Москва, Россия.
ORCID: 0000-0001-6164-7615
В. М. Петров, д. ф.‑ м. н. (радиофизика), д. ф.‑ м. н. (оптика), профессор, кафедра Общей физики‑1, Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0002-8523-0336
В. Ю. Венедиктов, д. ф.‑ м. н., профессор, главный научный сотрудник, Кафедра
лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский электротехнический университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0055-1234-5678
Д. Д. Решетников, аспирант, кафедра Общей физики‑1, Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0009-0001-5587-3306
Конфликт интересов
Авторы декларируют отсутствие конфликта интересов. Результаты исследования были обсуждены и представлены в рукописи, представляющей собой совместную работу.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Bykovskij A. YU., Kompanec I. N. Kvantovaya kriptografiya i kombinirovannye skhemy kommunikacionnyh setej na ee osnove. Kvantovaya elektronika. 2018; 48 (9): 777. DOI 10.1070/QEL16732. (In Russ.).
Быковский А. Ю., Компанец И. Н. Квантовая криптография и комбинированные схемы коммуникационных сетей на ее основе. Квантовая электроника. 2018;48 (9): 777. DOI 10.1070/QEL16732.
Mirhosseini M., Magana-Loaiza O. S., O’Sullivan M. N. et al. High-dimensional quantum cryptography with twisted light. New J. Phys. 2015; 17: 033033. DOI 10.1088/1367–2630/17/3/033033.
Doster T., Watnik A. Laguerre–Gauss and Bessel–Gauss beams propagation through turbulence: analysis of channel efficiency. Appl. Opt. 2016; 55 (36): 10239. http://dx.doi.org/10.1364/AO.55.010239.
Lavery M. P. J., Peuntinger C., Gunthner K. et al. Free-space propagation of high-dimensional structured optical fields in an urban environment. Sci. Adv. 2017; 3 (10): e1700552. DOI: 10.1126/sciadv.1700552.
Z. Qu, Djordjevic I. B. High-speed free-space optical continuous-variable quantum key distribution enabled by three-dimensional multiplexing. Opt. Express. 2017; 25 (7): 7919. https://doi.org/10.1364/OE.25.007919
Sit A., Fickler R., Alsairai F. et al. Quantum cryptography with structured photons through a vortex fiber. Opt. letters. 2018; 43 (17): 4108. https://doi.org/10.1364/OL.43.004108.
Adam I. A., Yashin D. A., Kargina D. A. et al. Comparison of Gaussian and vortex beams in free-space QKD with phase encoding in turbulent atmosphere. Nanosystems: Phys. Chem. Math. 2022;13 (4): 392. DOI 10.17586/2220-8054-2022-13-4-392-403.
Wang, Z. Malaney R., Green J. Satellite-to-Ground Multi-dimensional Quantum Teleportation via Orbital Angular Momentum. Conference paper: GLOBECOM 2019–2019 IEEE Global Communications Conference. 1 (IEEE 2019). http://dx.doi.org/10.1109/GLOBECOM38437.2019.9014321.
S.-K. Liao, C. W.-Q. Cai, W.-Y. Liu et al. Satellite-to-ground Quantum Key distribution. Nature. 2017; 549: 43. https://doi.org/10.1038/nature23655.
Y.-A. Chen, Q. Zhang, C.-Y. Chen et all. An integrated space-to-ground quantum communication network over 4,600 kilometres. Nature. 2021;589:214. https://doi.org/10.1038/s41586-020-03093-8
Sokolov A. L. Osesimmetrichnye puchki sveta i ih primenenie dlya kosmicheskoj tekhniki. Radiotekhnika. 2023; 87 (3): 64. https://doi.org/10.18127/j00338486-202304-08. (In Russ.).
Соколов А. Л. Осесимметричные пучки света и их применение для космической техники. Радиотехника. 2023; 87 (3): 64. https://doi.org/10.18127/j00338486-202304-08.
Akent’ev A. S., Sadovnikov M. A., Sokolov A. L., Simonov G. V. Polyarizacionnyj analiz sistemy navedeniya kvantovo-opticheskih sistem. Optika i spektroskopiya. 2017; 122 (6): 1044. https://doi.org/10.7868/S0030403417060022. (In Russ.).
Акентьев А. С., Садовников М. А., Соколов А. Л., Симонов Г. В. Поляризационный анализ системы наведения квантово-оптических систем. Оптика и спектроскопия. 2017; 122 (6): 1044. https://doi.org/10.7868/S0030403417060022.
Nesterov A. V., Niz’ev V. G., Sokolov A. L. Lazernoe izluchenie s osesimmetrichnym sostoyaniem polyarizacii. Vestnik MEI. 1999; 2, 76. (In Russ.).
Нестеров А. В., Низьев В. Г., Соколов А. Л. Лазерное излучение с осесимметричным состоянием поляризации. Вестник МЭИ.1999; 2:76.
Tovar A. Production and propagation of cylindrically polarized Laguerr-Gaussian laser beams. J. Opt. Soc. Am. A. 1998; 15: 2705. https://doi.org/10.1364/JOSAA.15.002705.
Ishchenko E. F., Sokolov A. L. Polyarizacionnaya optika (uchebnoe posobie, izd. 3). M.: Izd. – vo. FIZMATLIT. 2019. ISBN 978‑5‑9221‑1838‑5 (In Russ.).
Ищенко Е. Ф., Соколов А. Л. Поляризационная оптика (учебное пособие, изд. 3). М.: Изд. – во. ФИЗМАТЛИТ. 2019. ISBN 978‑5‑9221‑1838‑5.
Dorn R., Quabis S., Leuchs G. Generation of a radially polarized doughnut mode of high quality. Appl. Phys. B. 2005; 81 (5): 597. DOI: 10.1007/s00340‑005‑1887‑1.
Niz’ev V. G., YAkunin V. P., Turkin N. G. Generaciya polyarizacionno-neodnorodnyh mod v moshchnom SO2‑lazere. Kvantovaya elektronika. 2009; 39 (6): 505. https://doi.org/10.1070/QE2009v039n06ABEH013962. (In Russ.).
Низьев В. Г., Якунин В. П., Туркин Н. Г. Генерация поляризационно-неоднородных мод в мощном СО2‑лазере. Квантовая электроника. 2009; 39 (6): 505. https://doi.org/10.1070/QE2009v039n06ABEH013962.
Difrakcionnaya nanofotonika. /Pod red. V. A. Sojfer. M.: Fizmatlit. 2011. ISBN 978‑5‑9221‑1237‑6. (In Russ.).
Дифракционная нанофотоника. /Под ред. В. А. Сойфера. М.: Физматлит. 2011. ISBN 978‑5‑9221‑1237‑6.
Sokolov A. L. Optical vortices with axisymmetric polarization structure. J. Opt. Soc. Am. A. 2013; 30 (7): 1350. http://dx.doi.org/10.1364/JOSAA.30.001350.
Sadovnikov M. A., Sokolov A. L. Prostranstvennaya polyarizacionnaya struktura izlucheniya, formiruemaya ugolkovymi otrazhatelyami s nemetallizirovannymi granyami. Optika i spektroskopiya. 2009; 107(2): 213–218, ISSN 0030‑4034. (In Russ.).
Садовников М. А., Соколов А. Л. Пространственная поляризационная структура излучения, формируемая уголковыми отражателями с неметаллизированными
пучки Эрмита-Гаусса и протокол ВВ84
на их основе для канала квантовой криптографии Космос-Земля
А. Л. Соколов 1, В. М. Петров 2, В. Ю. Венедиктов 3, Д. Д. Решетников 2
Научно-производственная корпорация «Системы прецизионного приборостроения» (АО «НПК «СПП»), Москва, Россия
Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Кафедра лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский электротехнический университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
В работе приводится описание системы передачи квантовой информации с помощью пучков Эрмита-Гаусса, образованных векторной суперпозицией мод Эрмита-Гаусса с индексами 10 и 01. Показано, что аксиальная поляризационная симметрия таких пучков, не чувствительная к поворотам относительно оптической оси, является предпочтительной для космических систем квантовой криптографии и может быть использована при модификации известного протокола ВВ84. Обсуждается возможность как создания, так и детектирования таких пучков для передачи поляризационного протокола при помощи четырех аксиально-симметричных поляризационных устройств на основе радиального поляризатора.
Ключевые слова: квантовая криптография, поляризационный протокол, аксиально-симметричная поляризационная структура, радиальный поляризатор, спиральный вращатель
Статья получена: 04.09.2023
Статья принята 13.10.2023
Введение
Развитие систем квантовой криптографии [1] обусловлено необходимостью защиты информации в современных коммуникационных сетях. Использование различных типов пространственно-структурированных пучков может быть одним из эффективных решений задачи по оптической передаче информации в реальных условиях турбулентности среды как по классическим, так и по квантовым каналам связи.
На сегодняшний день выполнен большой объем теоретических и экспериментальных работ в данной области, ежегодно публикуется большое количество статей. Так, например, исследовано влияние турбулентности атмосферного канала на распространение векторных пучков Лагерра-Гаусса и Бесселя-Гаусса и на пропускную способность канала [2, 3], продемонстрирована передача высших мод пучков Лагерра-Гаусса в реальных условиях городской турбулентности на расстояние 1,6 км с использованием длины волны 809 нм [4], экспериментально продемонстрирована скорость рассылки ключа со скоростью не менее 120 Мбит / с с использованием спектрального, поляризационного и мультиплексирования по орбитальному угловому моменту на длине волны 1550,12 нм (193,4 ТГц) [5]. В последнем примере имитация турбулентности атмосферы осуществлялась при помощи двух двумерных фазовых модуляторов света, обеспечивающих турбулентность, соответствующую величине параметра Рытова . Экспериментально продемонстрирована квантовая рассылка ключа через вихревое оптическое волокно длиной 60 м. В этом случае использовалась пара запутанных фотонов, получаемых в результате процесса спонтанного параметрического рассеяния на длине волны 405 нм [6]. Активно ведутся работы по исследованию распространения гауссовых и вихревых пучков в условиях атмосферной турбулентности на значительные расстояния до 1 000 м [7].
Особое место занимают задачи передачи информации на расстояния более тысячи километров с помощью низкоорбитальных космических аппаратов, оснащенных соответствующим оборудованием [8–11]. Если еще в 2017 году в работе [9] сообщалось о достигнутой скорости передачи ключа в «несколько килогерц» на спутник, находящийся на расстоянии 1 200 км от Земли, то в 2021 году уже сообщалось об «интегрированной волоконно-оптической и спутниковой сети» общей протяженностью 4 600 км и скоростью передачи секретного ключа на спутник со скоростью 47,8 кБит / с [10]. Отметим, что возможность использования в космических системах пучков с аксиально-симметричной поляризационной структурой, т. е. обладающих пространственной модуляцией поляризации в плоскости, ортогональной направлению распространения, в качестве базовых пучков, формирующих поляризационный криптографический, ключ показана в работе [11].
Практически во всех известных работах по квантовой рассылке ключа (КРК) в космосе применяется протокол ВВ84, использующий два базиса, каждый из которых содержит по два состояния фотона. В первом базисе фотон линейно поляризован вертикально или горизонтально (0° или 90°), во втором – фотон линейно поляризован диагонально (45° или 135°). Это, в частности, обусловлено неустойчивостью «фазовых» протоколов при распространении света в турбулентной атмосфере.
Вместе с тем необходимо отметить, что применение протокола ВВ84 с использованием базисов, основанных на линейной поляризации фотонов, для задач КРК для низкоорбитальных космических аппаратов имеет свои трудности, связанные с необходимостью в каждой момент времени фиксировать положение плоскости поляризации света как передающей, так и приемной системами на земле и в космосе. Анализ показывает, что в передающих оптико-лазерных системах состояние поляризации существенно изменяется для различных точек полусферы [12]. В случае поляризационного протокола это означает зависимость двух развернутых на 45° систем координат от взаимной ориентации передающего телескопа и космического аппарата.
Данную зависимость можно устранить, если использовать пучки с аксиально-симметричной поляризационной структурой [13–15].
Отдельными задачами является как получение пучков с заданной аксиальной поляризационной структурой, так и их детектирование. Способы их получения можно разделить на два основных: первый – это внутрирезонаторные методы, когда вместо основной моды лазера генерируются моды первого порядка [16, 17], и внерезонаторные методы с помощью дифракционных оптических элементов [18]. В [19] было показано, что пучки второго порядка образуются при отражении линейно поляризованного пучка от уголкового отражателя [20, 21], в частности, при наличии специального интерференционного покрытия граней, формируется оптический вихрь второго порядка. Задача детектирования пучков может быть решена или при помощи использования устройства, выполняющего роль радиального поляризатора [15], или при помощи устройства, аналогичному дифракционному сортеру, см., например, [22].
Цель настоящей работы – предложить реализацию известного протокола ВВ84 для космической системы передачи квантовой информации. Особенностью такой реализации должна быть ее инвариантность относительно поворота вокруг оси z, совпадающей с направлением распространения пучка.
1. Пучки
с аксиально-симметричной поляризационной структурой
В случае аксиально-симметричной поляризационной структуры, независимо от радиальной координаты в плоскости поперечного сечения пучка, каждому значению азимута соответствует определенная ориентация плоскости колебаний вектора , которая изменяется так, что при возвращении к исходному значению азимута эта плоскость совершает целое число оборотов. Поляризационно-симметричные структуры имеют по две модификации, в зависимости от направления поворота плоскости колебаний вектора .
Поляризационная структура этих пучков инвариантна к повороту относительно оси пучка: состояние поляризации сохраняется вдоль радиус-вектора r для произвольного азимутального угла ϕ (рис. 1).
В данной работе пучки с аксиально-симметричной поляризационной структурой предлагаются использовать при передаче квантовых ключей в космическом пространстве по протоколу ВВ84.
В табл. 1 показано, как формируются аксиально-симметричные структуры, составляющие набор для модифици-
рованного поляризационного протокола. Базовыми ортогональными поляризационными структурами поляризационного протокола явлются пучки, образованные векторной суперпозицией линейно-поляризованных мод Эрмита-Гаусса с индексами 10 и 01 (табл. 1). Это: радиальная поляризационная структура – вектор в каждой точке поперечной плоскости ориентирован вдоль радиуса (РП-пучок), азимутальная – вектор направлен в каждой точке по касательной к концентрическим окружностям (АП-пучок), и две ортогональные поляризационные структуры, обладающие аксиальной симметрией, которые развернуты на 45° относительно РП-пучка и АП-пучка: право-скрученная (ПСП-пучок) и левоскрученная (ЛСП-пучок). Векторы Джонса в табл. 1 записаны в цилиндрическом базисе, где ϕ – азимутальный угол.
Взаимодействие базовых пучков с радиальными поляризационными элементами удобно демонстрировать в специальном поляризационном (спиральном) базисе.
2. Спиральные базисы
Для удобства математических выкладок используем спиральные базисы, которые задаются с помощью двух матриц [8]:
(1)
где ϕ – азимутальный угол, отсчитываемый от так называемой нулевой полуоси, в направлении которой матрицы становятся единичными.
Матрица Р описывает переход вектора Джонса из декартова в спиральный P-базис, где соответствующий вектор Джонса будем обозначать индексом , а матрица N – в спиральный N-базис с индексом . Если нулевая полуось согласована с осью Х декартова базиса, то имеем:
, . (2)
Преобразование матрицы Джонса из декартового поляризационного базиса в матрицу в спиральном базисе и обратно осуществляется следующим образом:
. (3)
Собственными для спирального базиса являются поляризационные структуры РП-пучка и АП-пучка, у которых вектор вращается против часовой стрелки при изменении азимутального угла ϕ, при этом поляризационная структура не изменяется при поворотах осей координат.
При преобразовании из декартова базиса в спиральный -базис векторы Джонса данных пучков приобретают следующий вид:
(4)
Для N-базиса собственными являются поляризационные структуры с поворотом плоскости колебаний вектора по часовой стрелке. В этом случае поляризационная структура изменяется при повороте декартового базиса.
Векторы Джонса ПСП-пучка и ЛСП-пучка в спиральном базисе имеют вид:
(5)
3. Радиальный поляризатор и устройства на его основе
Необходимым устройством для реализации передачи квантового ключа, а именно для идентификации различных базовых состояний, является радиальный поляризатор (РП). Оси пропускания радиального поляризатора направлены вдоль поперечного радиуса . В азимутальном направлении, т. е. при ориентации вектора по касательным к концентрическим окружностям, пропускание равно нулю. Покажем, как РП может быть получен с помощью обычного линейного поляризатора, расположенного между двух спиральных вращателей [23].
Матрицы Джонса положительного P и отрицательного N спирального вращателя в декартовом базисе имеют вид:
(6)
где ϕ – азимутальный угол, отсчитываемый от горизонтальной оси Х декартова базиса в поперечном сечении пучка; α – угол, который составляет нулевую полуось спирального вращателя с осью Х.
Спиральные вращатели могут быть полярными или неполярными, в зависимости от того, изменяют ли они свой знак для обратной волны.
Пусть нулевая полуось двух спиральных вращателей разного знака совпадает с осью Х декартова базиса. Расположим идеальный линейный поляризатор между этими двумя вращателями так, что ось его наибольшего пропускания составляла угол β с осью Х. Матрица Джонса данного поляризационно-неоднородного устройства будет иметь следующий вид:
(7)
При β = 0 данное поляризационное устройство является радиальным поляризатором, который без потерь пропускает РП-пучок, вектор которого ориентирован вдоль поперечного радиуса (вектор Джонса ) и полностью поглощает АП-пучок с азимутальной поляризационной структурой (вектор Джонса ).
Радиальный поляризатор формирует из линейно поляризованного света пучок с радиальной поляризационной структурой, независимо от ориентации плоскости колебаний вектора – поляризационного азимута , однако при этом изменяется интенсивность пучка:
(8)
где вектор Джонса линейно поляризованного света записан в виде:
Потери в этом случае достигают 50%.
Из циркулярно-поляризованного света радиальный поляризатор формирует оптический вихрь с радиальной поляризационной структурой:
(9)
при этом потери равны 50%.
Если в (5) переставить местами спиральные вращатели, то получается уже гиперболический поляризатор, собственными состояниями поляризации которого являются векторы Джонса, у которых в отличие от РП-пучка и АП-пучка вектор вращается по часовой стрелке при увеличении азимутального угла
(10)
Если в (5) использовать полярные фарадеевские спиральные вращатели, то данное устройство будет представлять собой радиальный поляризатор для одного направления и гиперболический поляризатор для противоположного. Соответственно в одну сторону будет проходить без потерь , а в другую сторону – .
Матрица Джонса радиального поляризатора в спиральном P-базисе имеет вид:
. (11)
Соответственно матрица Джонса гиперболического поляризатора имеет аналогичный вид в спиральном N-базисе.
Радиальный поляризатор, развернутый на угол β, в спиральном базисе имеет вид
(12)
Кроме радиального поляризатора, для анализа криптографического ключа требуется иметь еще три устройства. Во-первых, это радиальный поляризатор, развернутый на 90°, или, другими словами, аксиальный поляризатор, который пропускает без потерь АП-пучок. Матрица Джонса этого устройства в спиральном базисе имеет вид
,
что соответствует подстановке в (12) β = 90°.
Радиальный поляризатор, развернутый на угол 45°, описывается в спиральном базисе матрицей Джонса:
. (13)
Данное поляризационное устройство полностью пропускает закрученный ПСП-пучок и полностью гасит ортогонально поляризованный ЛСП-пучок (4). Для двух других поляризационных структур (3) пропускание является частичным.
Заметим, что если применять устройство, состоящее из линейного поляризатора и двух спиральных вращателей (7), то, поворачивая линейный поляризатор на угол ±45°, мы получаем два устройства для пропускания ПСП-пучка и ЛСП-пучка.
Совокупное действие четырех поляризационно-неоднородных устройств на базовые состояния поляризации модифицированного квантового ключа иллюстрирует табл. 2.
4. Описание протокола
Положение плоскости колебаний вектора на выходе из оптико-лазерной системы изменяется в широких пределах. Это создает проблемы при определении ориентации базовой системы координат при передачи поляризационного ключа с земли на борт и обратно. Применение поляризационно-симметричных структур позволяет решить данную проблему.
В системе лазерной связи с квантовой криптографией по предлагаемому протоколу формируются четыре фотона из осесимметричных пучков четырех видов, показанных в табл. 2, с помощью четырех устройств с использованием радиального поляризатора в четырех ориентациях. В приемной части соответственно применяются такие же четыре поляризационных устройства.
Первое поляризационное устройство – радиальный поляризатор, который гасит АП-пучок и пропускает РП-пучок. В спиральном базисе имеем:
(14)
Второе поляризационное устройство – это радиальный поляризатор, развернутый на 90°, который гасит РП-пучок и пропускает АП-пучок. Данные воздействия описываются следующим образом:
(15)
Третье поляризационное устройство – это радиальный поляризатор, развернутый на 45°, который гасит ЛСП-пучок и пропускает ПСП-пучок. Имеем в спиральном базисе
(16)
Четвертое поляризационное устройство – это радиальный поляризатор, развернутый на –45°, который гасит ПСП-пучок и пропускает ЛСП-пучок. Имеем
(17)
Таким образом, нами показано, что применение пучков Эрмита-Гаусса с аксиально-симметричной поляризационной структурой является аналогичным известному протоколу ВВ84 в спиральном базисе, однако, предложенная практическая реализация обладает инвариантностью к повороту относительно оси распространения z.
Практическая реализация может быть осуществлена следующим образом. На входе оптико-лазерной системы наведения должен находиться узкополосный лазер и четвертьволновая пластинка для генерации света с круговой поляризацией. Такой свет независимо от ориентации телескопа передающей системы сохранит круговую поляризацию. На выходе из системы наведения необходимо расположить поляризационное устройство, которое формирует четыре базовых пучка с различной осесимметричной поляризационной структурой. Например, это может быть радиальный поляризатор между двух спиральных вращателей, который поворачивается в четыре положения или сортер. Важным условием является совпадение оптической оси пучка и радиального поляризатора. Этого можно достигнуть, используя систему наведения с соосным пучком, который обладает достаточной мощностью и возможно другой длиной волны, например, 532 нм, что удобно при юстировке системы. Заметим, что, кроме аксиально-симметричной поляризационной структуры, пучки на выходе буду обладать свойствами оптического вихря, поскольку, согласно (9), фазовая структура пучков изменяется пропорционально азимутальному углу. Как известно [24 и др.], оптические вихри обладают большей устойчивостью к флуктуациям атмосферы, чем обычный лазерный пучок.
Если лазер изначально генерирует РП-пучок, то достаточно применить поляризационный вращатель, например, фарадеевский, которые скручивает поляризационную структуру РП-пучка в АП-пучок, ПСП-пучок или ЛСП-пучок.
На космическом аппарате должно располагаться ответное устройство в виде вращающегося радиального поляризатора и соответствующий ретранслятор.
В качестве иллюстрации возможности генерации рассматриваемых здесь пучков на рис. 2 приведены полученные экспериментально изображения поперечного сечения пучка, прошедшего сквозь турбулентную среду, а также фрагмент интерференционной картины с изображением «вилки», что подтверждает факт наличия оптического вихря.
Обсуждение результатов
Предложенная в настоящей работе реализация протокола ВВ84 с использованием пучков, обладающих аксиальной симметрией состояния поляризации, инвариантна по отношению к повороту относительно оси распространения пучка, что делает ее устойчивой для случая даже существенного изменения состояния поляризации в различных точках небесной полусферы. Такая проблема является характерной для систем квантовой рассылки ключа в космосе через низкоорбитальные космические аппараты.
Практическая реализация пучков Эрмита-Гаусса с аксиально-симметричной поляризационной структурой не вызывает трудностей [16–19, 21]. Существенной на сегодняшний день, на наш взгляд, является проблема детектирования пучков в криптографических системах передачи информации. Важным этапом в этом смысле явилась бы практическая реализация спиральных поляризационных вращателей, например, на жидкокристаллических пленках, и, соответственно, радиальных поляризаторов. Существуют также возможности реализации таких устройств на основе «тонких» графеновых слоев [25–27] или электрических управляемых дифракционных решеток [28], или рефракционного биконического аксикона [29].
Концептуальная проблема реализации систем передачи квантовых ключей состоит в том, что принцип унитарности преобразования в квантовой оптике требует отсутствия оптических потерь в системе регистрации, поскольку ведет к потере состояния запутанности фотонов. Поэтому, строго говоря, такие устройства, как сортеры, дифракционные решетки и т. д., не могут быть использованы в системах с «истинным» источником фотонов. Однако до последнего времени в большинстве практических случаев в системах КРК в качестве источника фотонов используется высокостабильный узкополосный лазер (как, например, в [30, 31]), что снимает вопрос о потерях в системе регистрации отдельных фотонов.
АВТОРЫ
А. Л. Соколов, д. т. н., проф., руководитель направления, Научно-производственная корпорация «Системы прецизионного приборостроения» (АО «НПК «СПП»), Москва, Россия.
ORCID: 0000-0001-6164-7615
В. М. Петров, д. ф.‑ м. н. (радиофизика), д. ф.‑ м. н. (оптика), профессор, кафедра Общей физики‑1, Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0002-8523-0336
В. Ю. Венедиктов, д. ф.‑ м. н., профессор, главный научный сотрудник, Кафедра
лазерных измерительных и навигационных систем, Санкт-Петербургский электротехнический университет «ЛЭТИ», Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0000-0055-1234-5678
Д. Д. Решетников, аспирант, кафедра Общей физики‑1, Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия.
ORCID: 0009-0001-5587-3306
Конфликт интересов
Авторы декларируют отсутствие конфликта интересов. Результаты исследования были обсуждены и представлены в рукописи, представляющей собой совместную работу.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Bykovskij A. YU., Kompanec I. N. Kvantovaya kriptografiya i kombinirovannye skhemy kommunikacionnyh setej na ee osnove. Kvantovaya elektronika. 2018; 48 (9): 777. DOI 10.1070/QEL16732. (In Russ.).
Быковский А. Ю., Компанец И. Н. Квантовая криптография и комбинированные схемы коммуникационных сетей на ее основе. Квантовая электроника. 2018;48 (9): 777. DOI 10.1070/QEL16732.
Mirhosseini M., Magana-Loaiza O. S., O’Sullivan M. N. et al. High-dimensional quantum cryptography with twisted light. New J. Phys. 2015; 17: 033033. DOI 10.1088/1367–2630/17/3/033033.
Doster T., Watnik A. Laguerre–Gauss and Bessel–Gauss beams propagation through turbulence: analysis of channel efficiency. Appl. Opt. 2016; 55 (36): 10239. http://dx.doi.org/10.1364/AO.55.010239.
Lavery M. P. J., Peuntinger C., Gunthner K. et al. Free-space propagation of high-dimensional structured optical fields in an urban environment. Sci. Adv. 2017; 3 (10): e1700552. DOI: 10.1126/sciadv.1700552.
Z. Qu, Djordjevic I. B. High-speed free-space optical continuous-variable quantum key distribution enabled by three-dimensional multiplexing. Opt. Express. 2017; 25 (7): 7919. https://doi.org/10.1364/OE.25.007919
Sit A., Fickler R., Alsairai F. et al. Quantum cryptography with structured photons through a vortex fiber. Opt. letters. 2018; 43 (17): 4108. https://doi.org/10.1364/OL.43.004108.
Adam I. A., Yashin D. A., Kargina D. A. et al. Comparison of Gaussian and vortex beams in free-space QKD with phase encoding in turbulent atmosphere. Nanosystems: Phys. Chem. Math. 2022;13 (4): 392. DOI 10.17586/2220-8054-2022-13-4-392-403.
Wang, Z. Malaney R., Green J. Satellite-to-Ground Multi-dimensional Quantum Teleportation via Orbital Angular Momentum. Conference paper: GLOBECOM 2019–2019 IEEE Global Communications Conference. 1 (IEEE 2019). http://dx.doi.org/10.1109/GLOBECOM38437.2019.9014321.
S.-K. Liao, C. W.-Q. Cai, W.-Y. Liu et al. Satellite-to-ground Quantum Key distribution. Nature. 2017; 549: 43. https://doi.org/10.1038/nature23655.
Y.-A. Chen, Q. Zhang, C.-Y. Chen et all. An integrated space-to-ground quantum communication network over 4,600 kilometres. Nature. 2021;589:214. https://doi.org/10.1038/s41586-020-03093-8
Sokolov A. L. Osesimmetrichnye puchki sveta i ih primenenie dlya kosmicheskoj tekhniki. Radiotekhnika. 2023; 87 (3): 64. https://doi.org/10.18127/j00338486-202304-08. (In Russ.).
Соколов А. Л. Осесимметричные пучки света и их применение для космической техники. Радиотехника. 2023; 87 (3): 64. https://doi.org/10.18127/j00338486-202304-08.
Akent’ev A. S., Sadovnikov M. A., Sokolov A. L., Simonov G. V. Polyarizacionnyj analiz sistemy navedeniya kvantovo-opticheskih sistem. Optika i spektroskopiya. 2017; 122 (6): 1044. https://doi.org/10.7868/S0030403417060022. (In Russ.).
Акентьев А. С., Садовников М. А., Соколов А. Л., Симонов Г. В. Поляризационный анализ системы наведения квантово-оптических систем. Оптика и спектроскопия. 2017; 122 (6): 1044. https://doi.org/10.7868/S0030403417060022.
Nesterov A. V., Niz’ev V. G., Sokolov A. L. Lazernoe izluchenie s osesimmetrichnym sostoyaniem polyarizacii. Vestnik MEI. 1999; 2, 76. (In Russ.).
Нестеров А. В., Низьев В. Г., Соколов А. Л. Лазерное излучение с осесимметричным состоянием поляризации. Вестник МЭИ.1999; 2:76.
Tovar A. Production and propagation of cylindrically polarized Laguerr-Gaussian laser beams. J. Opt. Soc. Am. A. 1998; 15: 2705. https://doi.org/10.1364/JOSAA.15.002705.
Ishchenko E. F., Sokolov A. L. Polyarizacionnaya optika (uchebnoe posobie, izd. 3). M.: Izd. – vo. FIZMATLIT. 2019. ISBN 978‑5‑9221‑1838‑5 (In Russ.).
Ищенко Е. Ф., Соколов А. Л. Поляризационная оптика (учебное пособие, изд. 3). М.: Изд. – во. ФИЗМАТЛИТ. 2019. ISBN 978‑5‑9221‑1838‑5.
Dorn R., Quabis S., Leuchs G. Generation of a radially polarized doughnut mode of high quality. Appl. Phys. B. 2005; 81 (5): 597. DOI: 10.1007/s00340‑005‑1887‑1.
Niz’ev V. G., YAkunin V. P., Turkin N. G. Generaciya polyarizacionno-neodnorodnyh mod v moshchnom SO2‑lazere. Kvantovaya elektronika. 2009; 39 (6): 505. https://doi.org/10.1070/QE2009v039n06ABEH013962. (In Russ.).
Низьев В. Г., Якунин В. П., Туркин Н. Г. Генерация поляризационно-неоднородных мод в мощном СО2‑лазере. Квантовая электроника. 2009; 39 (6): 505. https://doi.org/10.1070/QE2009v039n06ABEH013962.
Difrakcionnaya nanofotonika. /Pod red. V. A. Sojfer. M.: Fizmatlit. 2011. ISBN 978‑5‑9221‑1237‑6. (In Russ.).
Дифракционная нанофотоника. /Под ред. В. А. Сойфера. М.: Физматлит. 2011. ISBN 978‑5‑9221‑1237‑6.
Sokolov A. L. Optical vortices with axisymmetric polarization structure. J. Opt. Soc. Am. A. 2013; 30 (7): 1350. http://dx.doi.org/10.1364/JOSAA.30.001350.
Sadovnikov M. A., Sokolov A. L. Prostranstvennaya polyarizacionnaya struktura izlucheniya, formiruemaya ugolkovymi otrazhatelyami s nemetallizirovannymi granyami. Optika i spektroskopiya. 2009; 107(2): 213–218, ISSN 0030‑4034. (In Russ.).
Садовников М. А., Соколов А. Л. Пространственная поляризационная структура излучения, формируемая уголковыми отражателями с неметаллизированными
Отзывы читателей
